Problem B. 4898. (October 2017)

B. 4898. Let \(\displaystyle A\) be a four-element set of positive integers such that \(\displaystyle ab+13\) is a perfect square for all \(\displaystyle a,b\in A\), \(\displaystyle a\ne b\). Prove that each element of \(\displaystyle A\) leaves a remainder of 2 when divided by 4.

Proposed by G. Nyul, Debrecen

(4 pont)

Deadline expired on November 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A megoldás során használni fogjuk, hogy a páros négyzetszámok 4-es maradéka 0, a páratlan négyzetszámok 8-as maradéka 1. (Ez a jól ismert állítás a \(\displaystyle (2k)^2=4k^2\) és \(\displaystyle (2k+1)^2=4k(k+1)+1\) egyenlőségekből azonnal leolvasható.)

Először megmutatjuk, hogy \(\displaystyle A\)-nak legfeljebb két páratlan eleme van. Ha ugyanis legalább három lenne, akkor a skatulya-elv szerint közülük kettőnek a 4-es maradéka is megegyezne: valamely (páratlan) \(\displaystyle a,b\in A\) (\(\displaystyle a\ne b\)) mellett \(\displaystyle 4\mid a-b\) teljesülne. Azonban akár két 1 maradékot adó, akár két 3 maradékot adó szám szorzata is 1 maradékot ad 4-gyel osztva, így \(\displaystyle ab+13\) szám 4-es maradéka 2 lenne, és nem lehetne négyzetszám. Tehát a négy szám között legfeljebb két páratlan lehet.

Ha \(\displaystyle A\)-nak lenne 4-gyel osztható eleme, mondjuk \(\displaystyle a\), akkor az előzőek szerint lennie kell még legalább egy másik páros elemnek, mondjuk \(\displaystyle b\)-nek is. Ekkor viszont az \(\displaystyle ab+13\) szám 8-as maradéka 5 lenne, így nem lehetne négyzetszám. Vagyis a számok között nincs 4-gyel osztható.

Végül megmutatjuk, hogy egyetlen páratlan elem sincs \(\displaystyle A\)-ban. Ha \(\displaystyle a\in A\) páratlan lenne, akkor – mivel legfeljebb két páratlan elem van – lennie kell olyan \(\displaystyle b\in A\) elemnek is, aminek a 4-es maradéka 2. Ekkor viszont az \(\displaystyle ab+13\) szám 4-es maradéka 3 lenne, ami ellentmondás. Tehát nem lehet páratlan eleme \(\displaystyle A\)-nak, így szükségképpen mindegyik eleme 2 maradékot ad 4-gyel osztva. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.

Megjegyzés. Ilyen halmaz létezik is, például \(\displaystyle A=\{2, 34, 54, 174\}\).

Statistics:

124 students sent a solution.
4 points:	81 students.
3 points:	21 students.
2 points:	16 students.
1 point:	3 students.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2017