Problem B. 4900. (October 2017)

B. 4900. Let \(\displaystyle K\) be a convex shape symmetric in the origin, let \(\displaystyle e\) be a line through the origin, and let \(\displaystyle e'\) be any line parallel to \(\displaystyle e\). Let, furthermore \(\displaystyle \# H\) denote the number of lattice points in a set \(\displaystyle H\). Prove that \(\displaystyle \# (K\cap e)+1 \ge \# (K\cap e')\).

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Egy \(\displaystyle s\) szakasz hosszát jelölje \(\displaystyle |s|\).

Először megmutatjuk, hogy \(\displaystyle \ell=|K\cap e|\ge |K\cap e'|=\ell'\). Legyen \(\displaystyle K\cap e'=PQ\), a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) tükörképe az origóra \(\displaystyle P'\) és \(\displaystyle Q'\). A \(\displaystyle PQP'Q'\) parelelogramma része \(\displaystyle K\)-nak a konvexitás miatt, így \(\displaystyle |K\cap e|\geq |PQP'Q'\cap e|=|PQ|=|K\cap e'|\).

Ha \(\displaystyle e\), és így \(\displaystyle e'\) meredeksége irracionális, akkor mindkettő legfeljebb \(\displaystyle 1\) rácspontot tartalmaz, így az egyenlőtlenség teljesül.

Ha \(\displaystyle e\) irányvektora \(\displaystyle \mathbf v=(p,q)\), ahol \(\displaystyle \text{lnko} (p,q)=1\), akkor könnyű látni, hogy az \(\displaystyle e\)-re illeszkedő rácspontok helyvektorai \(\displaystyle k\mathbf v\) (\(\displaystyle k\in \mathbb Z\)). Hasonlóan, ha az \(\displaystyle e'\)-re illeszkedik az \(\displaystyle (x_0,y_0)\) rácspont, akkor az összes rá illeszkedő rácspontok \(\displaystyle (x_0,y_0)+k\mathbf v\) alakúak. Ezekből következik, hogy \(\displaystyle K\cap e\)-ben legalább \(\displaystyle \lfloor \ell/|\mathbf v| \rfloor\) darab rácspont van, míg \(\displaystyle K\cap e'\)-ben legfeljebb \(\displaystyle \lceil \ell'/|\mathbf v| \rceil\). Így

\(\displaystyle \# (K\cap e)+1 \geq \lfloor \ell/|\mathbf v| \rfloor +1 \geq \lfloor \ell'/|\mathbf v| \rfloor +1 \geq \lceil \ell'/|\mathbf v| \rceil \geq \# (K\cap e').\)

Megjegyzés. a megoldásban a szokásoknak megfelelően konvex lemezen korlátos, zárt konvex halmazt értettünk, amely tartalmaz egy nem elfajuló háromszöget. A zártság feltevése nélkül a bizonyítás némi kiegészítésre szorul, de az állítás igaz marad.

Statistics:

74 students sent a solution.
5 points:	Csépányi István, Daróczi Sándor, Döbröntei Dávid Bence, Gyetvai Miklós, Győrffi Ádám György, Győrffy Ágoston, Hervay Bence, Jánosik Áron, Kocsis Anett, Kupás Vendel Péter, Martinák Zalán, Molnár-Sáska Zoltán, Schrettner Jakab, Schweitzer Ádám, Szabó 997 Balázs István, Tiderenczl Dániel, Várkonyi Zsombor, Weisz Máté, Zólomy Kristóf.
4 points:	Bukva Dávid, Dobák Dániel, Fitos Bence, Fuisz Gábor, Füredi Erik Benjámin, Gáspár Attila, Harsányi Benedek, Hegedűs Dániel, Horváth 721 Balázs, Jánosik Máté, Janzer Orsolya Lili, Jedlovszky Pál, Kántor András Imre, Kerekes Anna, Kószó Máté József, Markó Anna Erzsébet, Márton Dénes, Mikulás Zsófia, Nagy Nándor, Noszály Áron, Perényi Gellért, Pituk Gábor, Póta Balázs, Sebestyén Pál Botond, Szabó 417 Dávid, Vida Tamás, Williams Hajna, Zsigri Bálint.
3 points:	6 students.
2 points:	15 students.
1 point:	4 students.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2017