Problem B. 4902. (October 2017)

B. 4902. Let \(\displaystyle A_1B_1\), \(\displaystyle A_2B_2\), \(\displaystyle A_3B_3\) and \(\displaystyle A_4B_4\) be four parallel line segments of different lengths given in the plane. For any \(\displaystyle 1\le i<j\le 4\), let \(\displaystyle M_{ij}\) denote the intersection of lines \(\displaystyle A_iB_j\) and \(\displaystyle A_jB_i\). Show that the lines \(\displaystyle M_{12}M_{34}\), \(\displaystyle M_{13}M_{24}\) and \(\displaystyle M_{14}M_{23}\) are either concurrent or parallel.

(6 pont)

Deadline expired on November 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle M_{ij}A_iB_i\) és \(\displaystyle M_{ij}B_jA_j\) háromszögek középpontosan hasonlóak (\(\displaystyle M_{ij}\) középponttal), a hasonlóság előjeles aránya \(\displaystyle -r_i/r_j\), ahol \(\displaystyle r_t\) az \(\displaystyle A_tB_t\) szakasz előjeles hossza. (Pl. legyen \(\displaystyle r_1>0\), ekkor \(\displaystyle r_i\) pontosan akkor pozitív, ha az \(\displaystyle A_iB_1\) és a \(\displaystyle B_iA_1\) szakaszok metszik egymást.) Ha az \(\displaystyle A_iB_i\) szakasz felezőpontjának helyvektora \(\displaystyle \mathbf{f}_i\), akkor az \(\displaystyle M_{ij}\) pont helyvektora \(\displaystyle \mathbf{m}_{ij}= \dfrac{r_j}{r_i + r_j}\mathbf{f}_i + \dfrac{r_i}{r_i + r_j}\mathbf{f}_j\). Az \(\displaystyle M_{12}M_{34}\) egyenes pontjainak helyvektorai éppen az

\(\displaystyle x\mathbf{m}_{12} + (1-x)\mathbf{m}_{34}=x\left(\dfrac{r_2}{r_1 + r_2}\mathbf{f}_1 + \dfrac{r_1}{r_1 + r_2}\mathbf{f}_2\right) + (1-x)\left(\dfrac{r_4}{r_3 + r_4}\mathbf{f}_3 + \dfrac{r_3}{r_3 + r_4}\mathbf{f}_4\right) \)

vektorok, ahol \(\displaystyle x\) tetszőleges valós szám. Legyen \(\displaystyle S=r_1r_2r_3+r_1r_2r_4+r_1r_3r_4+r_2r_3r_4\) és \(\displaystyle P=r_1r_2r_3r_4\); az \(\displaystyle x=\dfrac{r_1r_3r_4+r_2r_3r_4}{S}=\dfrac{(r_1+r_2)r_3r_4}{S}\) választással \(\displaystyle 1-x=\dfrac{r_1r_2r_3+r_1r_2r_4}{S}=\dfrac{(r_3+r_4)r_1r_2}{S}\), így a

\(\displaystyle \mathbf{k}=x\mathbf{m}_{12} + (1-x)\mathbf{m}_{34}=x\left(\dfrac{r_2}{r_1 + r_2}\mathbf{f}_1 + \dfrac{r_1}{r_1 + r_2}\mathbf{f}_2\right) + (1-x)\left(\dfrac{r_4}{r_3 + r_4}\mathbf{f}_3 + \dfrac{r_3}{r_3 + r_4}\mathbf{f}_4\right)=\)

\(\displaystyle =\dfrac{P}{Sr_1} \mathbf{f}_1 + \dfrac{P}{Sr_2} \mathbf{f}_2 + \dfrac{P}{Sr_3} \mathbf{f}_3 + \dfrac{P}{Sr_4} \mathbf{f}_4\)

helyvektorú \(\displaystyle K\) pont illeszkedik \(\displaystyle M_{12}M_{34}\)-re, és ezért a szimmetria miatt a másik két egyenesre is. Ha \(\displaystyle S=0\), akkor \(\displaystyle K\) a három egyenes ,,végtelen távoli'' (ideális) pontja, vagyis az egyenesek párhuzamosak.

Statistics:

23 students sent a solution.
6 points:	Csépányi István, Csóka Zoárd, Daróczi Sándor, Dobák Dániel, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Richárd, Fülöp Anna Tácia, Gáspár Attila, Kerekes Anna, Márton Dénes, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Nándor, Pituk Gábor, Póta Balázs, Schrettner Jakab, Surján Anett, Szabó 417 Dávid, Szabó 997 Balázs István, Szabó Kristóf, Tiderenczl Dániel, Zólomy Kristóf.
5 points:	Török Mátyás.
4 points:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2017