Problem B. 4903. (November 2017)

B. 4903. Determine all positive integers \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) such that \(\displaystyle abcd-1\mid a+b+c+d\).

Proposed by J. Szoldatics, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on December 11, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a feltétel teljesül, akkor valamely \(\displaystyle e\) pozitív egész számra

\(\displaystyle (abcd-1)e=a+b+c+d,\)

azaz

\(\displaystyle abcde=a+b+c+d+e.\)

A feladat megoldásához először keressük meg azokat a pozitív egész számokból álló \(\displaystyle (a,b,c,d,e)\) számötösöket, melyekre teljesül, hogy az öt szám összege megegyezik az öt szám szorzatával. Feltehetjük, hogy \(\displaystyle a\leq b\leq c\leq d\leq e\).

Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle b=1\). Ha \(\displaystyle b\geq 2\) lenne, akkor a feltételből

\(\displaystyle 1=\frac{a+b+c+d+e}{abcde}=\frac{1}{bcde}+\frac{1}{acde}+\frac{1}{abde}+\frac{1}{abce}+\frac{1}{abcd}\leq \frac{1}{16}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}<1\)

következne, ami ellentmondást adna.

Tehát \(\displaystyle b=1\), és így \(\displaystyle a=1\).

Ha \(\displaystyle c=1\), akkor a feltételből

\(\displaystyle de=3+d+e,\)

azaz

\(\displaystyle (d-1)(e-1)=4.\)

Mivel \(\displaystyle 1\leq d\leq e\) egész számok, ezért vagy \(\displaystyle d-1=1,e-1=4\), vagy \(\displaystyle d-1=2,e-1=2\). Ez az \(\displaystyle (1,1,1,2,5)\) és \(\displaystyle (1,1,1,3,3)\) megoldásokat adja.

Ha \(\displaystyle c=2\), akkor a feltételből

\(\displaystyle 2de=4+d+e,\)

azaz

\(\displaystyle 4de=8+2d+2e,\)

és így

\(\displaystyle (2d-1)(2e-1)=9.\)

Mivel \(\displaystyle c=2\leq d\), ezért \(\displaystyle 3\leq 2d-1\), vagyis csak \(\displaystyle 2d-1=3, 2e-1=3\) lehetséges, az \(\displaystyle (1,1,2,2,2)\) megoldást kapjuk.

Ha \(\displaystyle c\geq 3\) lenne, akkor

\(\displaystyle 1=\frac{a+b+c+d+e}{abcde}=\frac{1}{bcde}+\frac{1}{acde}+\frac{1}{abde}+\frac{1}{abce}+\frac{1}{abcd}\leq \frac{1}{27}+\frac{1}{27}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}<1\)

következne, ami ellentmondás.

Tehát azok a rendezett számötösök, melyeken belül a számok összege és szorzata megegyezik: \(\displaystyle (1,1,1,2,5), (1,1,1,3,3)\) és \(\displaystyle (1,1,2,2,2)\).

A korábbiak szerint eredeti feladat feltételét kielégítő számnégyesek pontosan azok, amelyek egy ilyen számötösből kaphatók valamelyik szám elhagyásával. így az eredeti feladat feltételeinek megfelelő rendezett számnégyesek:

\(\displaystyle (1,1,1,2),(1,1,1,5),(1,1,2,5),(1,1,1,3),(1,1,3,3),(1,1,2,2),(1,2,2,2).\)

A feladat az összes megfelelő számnégyes meghatározása volt, így ezeken belül a számokat bárhogy permutálhatjuk, megkapva ezzel az összes megoldást. (A megoldások száma összesen \(\displaystyle 4+4+12+4+6+6+4=40\).)

Statistics:

138 students sent a solution.
4 points:	81 students.
3 points:	28 students.
2 points:	15 students.
1 point:	10 students.
0 point:	4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2017