Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4904. (November 2017)

B. 4904. A plane figure \(\displaystyle S\) has exactly two axes of symmetry. Show that \(\displaystyle S\) has central symmetry, too.

(3 pont)

Deadline expired on December 11, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az \(\displaystyle S\) síkidom két különböző szimmetriatengelye \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\). Tükrözzük \(\displaystyle f\)-re \(\displaystyle e\)-t és \(\displaystyle S\)-t, így kapjuk \(\displaystyle e'\)-t és \(\displaystyle S'\)-t. Világos, hogy \(\displaystyle e'\) szimmetriatengelye \(\displaystyle S'\)-nek. (Szemléletesen: az \(\displaystyle f\)-re vonatozó tengelyes tükrözést elképzelhetjük úgy, hogy \(\displaystyle f\) körül átfordítjuk \(\displaystyle S\) síkját, és a síkot "hátulról" nézzük. Ez a művelet természetesen nem befolyásolja azt a tényt, hogy a síkra rajzolt alakzatnak egy egyenes a szimmetriatengelye.) Mivel \(\displaystyle f\) szimmetriatengely, így \(\displaystyle S'=S\), tehát \(\displaystyle e'\) is szimmetriatengelye \(\displaystyle S\)-nek. Mivel \(\displaystyle S\)-nek pontosan az \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) szimmetriatengelyei, és \(\displaystyle e\neq f\), így \(\displaystyle e=e'\) következik, és ebből szükségképpen \(\displaystyle e\perp f\).

Legyen \(\displaystyle M=e\cap f\). Vegyünk egy tetszőleges \(\displaystyle P\) pontot és tükrözzük először \(\displaystyle e\)-re, majd \(\displaystyle f\)-re is, így kapjuk \(\displaystyle P'\) és \(\displaystyle P''\) pontokat. Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle PP''\) szakasz felezőpontja. Ha \(\displaystyle P\) illeszkedik \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) valamelyikére, akkor az állítás nyilvánvaló. Egyébként \(\displaystyle PP'P''\) egy derékszögű háromszög (mivel \(\displaystyle e\perp f\)), \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) pedig a \(\displaystyle PP'\) és \(\displaystyle P'P''\) befogók szakaszfelező-merőlegesei. Ezek a körülírt kör középpontjában metszik egymást, ami a Thalész-tétel megfordítása miatt épp a \(\displaystyle PP''\) átfogó felezéspontja.

Tehát egy tetszőleges \(\displaystyle P\in S\) pont \(\displaystyle M\)-re vonatkozó tükörképe épp \(\displaystyle P''\), s mivel \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) szimmetriatengelyek, így \(\displaystyle P'\in S\), továbbá \(\displaystyle P''\in S\). Ezért \(\displaystyle S\) középpontosan szimmetrikus \(\displaystyle M\)-re, amivel az állítást beláttuk.


Statistics:

110 students sent a solution.
3 points:64 students.
2 points:14 students.
1 point:22 students.
0 point:10 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2017