 |
A B. 4909. feladat (2017. november) |
B. 4909. Adjuk meg az összes olyan \(\displaystyle f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) függvényt, amely minden \(\displaystyle x\ne0\) és \(\displaystyle y\) esetén kielégíti az alábbi egyenletet:
\(\displaystyle x \cdot f(y) - y \cdot f(x) = f\left(\frac{y}{x}\right). \)
(Kvant)
(6 pont)
A beküldési határidő 2017. december 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Először meghatározzuk \(\displaystyle f(x)\) értékét, ha \(\displaystyle x\in \{-1,0,1\}\).
Az \(\displaystyle (x,y)=(2,0)\) helyettesítésből látható, hogy \(\displaystyle f(0)=0\).
Az \(\displaystyle (x,y)=(1,1)\) helyettesítésből látható, hogy \(\displaystyle f(1)=0\).
Ezután az \(\displaystyle (x,y)=(-1,1)\) helyettesítésből kapjuk, hogy \(\displaystyle f(-1)=0\).
Az \(\displaystyle (x,y)=(a,1)\) helyettesítés szerint \(\displaystyle f(1/a)=-f(a)\) teljesül bármely \(\displaystyle a\ne 0\) esetén.
Most legyenek \(\displaystyle a,b\notin \{-1,0,1\}\) és tekintsük az \(\displaystyle (x,y)=(1/a,b)\) és \(\displaystyle (x,y)=(1/b,a)\) helyettesítéseket:
\(\displaystyle \frac{1}{a}f(b)-bf\left(\frac{1}{a} \right) = f(ab)= \frac{1}{b} f(a) - af\left(\frac{1}{b} \right),\)
amiből \(\displaystyle f(1/a)=-f(a)\) és \(\displaystyle f(1/b)=-f(b)\) felhasználásával:
\(\displaystyle \frac{1}{a}f(b)+bf(a) = \frac{1}{b} f(a) + af(b),\)
és így
\(\displaystyle \frac{f(a)}{a-\frac{1}{a}}=\frac{f(b)}{b-\frac{1}{b}}.\)
Tehát a feladatban szereplő függvényegyenlet minden megoldására teljesül, hogy valamilyen \(\displaystyle c\in\mathbb{R}\) mellett \(\displaystyle f(x)=c(x-1/x)\), ha \(\displaystyle x\ne 0\) (hiszen ez a képlet \(\displaystyle x=\pm 1\)-re is helyes eredményt ad), és \(\displaystyle f(0)=0\).
Most megmutatjuk, hogy tetszőleges \(\displaystyle c\in \mathbb{R}\) mellett az előbb definiált függvény megoldást ad.
Ha \(\displaystyle y=0\), akkor \(\displaystyle x\) értékétől függetlenül a függvényegyenlet mindkét oldala 0-t ad, így a feltétel teljesül. Ha \(\displaystyle y\ne 0\), akkor behelyettesíthetjük az \(\displaystyle f(x)=c(x-1/x)\) képletet a függvényegyenletbe:
\(\displaystyle xf(y)-yf(x)=f(y/x),\)
\(\displaystyle xc(y-1/y)-yc(x-1/x)=c(y/x-x/y),\)
ami azonosság, vagyis valóban megoldást kaptunk.
Tehát a feladat feltételeinek megfelelő függvényekre \(\displaystyle f(0)=0\) és \(\displaystyle f(x)=c(x-1/x)\), ha \(\displaystyle x\ne 0\), ahol \(\displaystyle c\in \mathbb{R}\) tetszőleges paraméter lehet.
Statisztika:
85 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Beke Csongor, Busa 423 Máté, Csépányi István, Csiszár Zoltán, Daróczi Sándor, Döbröntei Dávid Bence, Füredi Erik Benjámin, Gáspár Attila, Gyetvai Miklós, Hervay Bence, Jánosik Áron, Jedlovszky Pál, Kerekes Anna, Márton Dénes, Molnár Bálint, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Nándor, Németh Ciprián, Schrettner Jakab, Szemerédi Levente, Tóth 827 Balázs, Weisz Máté. 5 pontot kapott: Győrffy Ágoston, Kiss Gergely, Mikulás Zsófia, Noszály Áron, Póta Balázs, Saár Patrik, Schweitzer Ádám, Sebestyén Pál Botond, Shuborno Das, Szabó 417 Dávid, Szabó 864 Blanka, Szabó 997 Balázs István, Velkey Vince, Zsigri Bálint. 4 pontot kapott: 16 versenyző. 3 pontot kapott: 10 versenyző. 2 pontot kapott: 13 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző.
A KöMaL 2017. novemberi matematika feladatai