Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4911. (November 2017)

B. 4911. We have placed chessmen on a \(\displaystyle 8\times 8\) chessboard. There is an odd number of chessmen standing in every row, and in every column. Prove that the total number of chessmen on the black fields of the chessboard is even.

(5 pont)

Deadline expired on December 11, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle X\) oszlopban (ahol \(\displaystyle X\in \{A,B,\dots,H\}\)) lévő bábuk számát jelölje \(\displaystyle o(X)\), az \(\displaystyle i\) sorban (ahol \(\displaystyle i\in \{1,2,\dots,8\}\)) lévőkét pedig \(\displaystyle s(i)\). Tekintsük az

\(\displaystyle o(A)+o(C)+o(E)+o(G)+s(2)+s(4)+s(6)+s(8)\)

összeget. (A megoldás során úgy vesszük, hogy A1 színe sötét, a szabályos sakktáblákra ez teljesül. A feladat állítása természetesen akkor is igaz marad, ha valaki ,,fordítva színezett'' sakktáblát használ.) Itt 4 oszlopban és 4 sorban lévő bábuk számát adtuk össze. A 4 sor és 4 oszlop együttesen lefedi az összes sötét mezőt (mindegyiket pontosan egy sor vagy oszlop tartalmazza a fentiek közül), a 4 sor és 4 oszlop keresztezéseiben lévő 16 világos mező mindegyikét egy sor és egy oszlop tartalmazza, továbbá a maradék 16 világos mező ezek közül egyik sorban és egyik oszlopban sem szerepel. Vagyis a fenti összegben minden sötét mezőt pontosan egyszer, a világos mezők egy részét 2-szer, másik részét 0-szor számoltuk. Az összeg paritása tehát megegyezik a sötét mezőkön lévő bábuk számának paritásával. A feltétel szerint mind a 8 összeadandó páratlan, így a feladat állítását igazoltuk: a sötét mezőkön összesen páros sok bábu áll.


Statistics:

104 students sent a solution.
5 points:63 students.
4 points:5 students.
3 points:3 students.
2 points:15 students.
1 point:9 students.
0 point:9 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2017