 |
A B. 4913. feladat (2017. december) |
B. 4913. Az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög \(\displaystyle A\) csúcsánál fekvő szögét az \(\displaystyle AC\) átló felezi. Jelöljük ki az \(\displaystyle AD\) oldal \(\displaystyle D\)-n túli meghosszabbításán az \(\displaystyle E\) pontot. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle CE=CA\) akkor és csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle DE=AB\).
(Bolgár feladat)
(3 pont)
A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Mint jól ismert, a kerületi szögek tétele miatt a húrnégyszög \(\displaystyle A\)-ből induló szögfelezője felezi a körülírt kör \(\displaystyle A\)-val szemközti \(\displaystyle BD\) ívét, ezért \(\displaystyle BC=DC\). A húrnégyszög szemközti szögeinek összege \(\displaystyle 180^\circ\), ezért \(\displaystyle ABC\sphericalangle=180^\circ-CDA\sphericalangle=EDC\sphericalangle\).
Ezek figyelembe vételével az állítás két irányát a következőképpen igazolhatjuk.
\(\displaystyle \Longrightarrow\) Ha \(\displaystyle CE=CA\), akkor
\(\displaystyle \bullet\) Az \(\displaystyle ACE\) háromszög egyenlő szárú, és így \(\displaystyle CED\sphericalangle=CEA\sphericalangle=EAC\sphericalangle=DAC\sphericalangle=CAB\sphericalangle\);
\(\displaystyle \bullet\) Az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle EDC\) háromszögek egybevágók, mert két szögük valamint két oldaluk hossza megegyezik: \(\displaystyle ABC\sphericalangle=EDC\sphericalangle\) és \(\displaystyle CAB\sphericalangle=CED\sphericalangle\), illetve \(\displaystyle BC=DC\) és \(\displaystyle CA=CE\);
\(\displaystyle \bullet\) A két egybevágó háromszögben az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle ED\) oldalak felelnek meg egymásnak, tehát valóban \(\displaystyle DE=AB\).
\(\displaystyle \Longleftarrow\) Megfordítva, ha \(\displaystyle AB=DE\), akkor
\(\displaystyle \bullet\) Az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle EDC\) háromszögek egybevágók, mert két oldaluk valamint az általuk bezárt szög megegyezik: \(\displaystyle AB=ED\), \(\displaystyle BC=DC\) és \(\displaystyle ABC\sphericalangle=EDC\sphericalangle\);
\(\displaystyle \bullet\) A két egybevágó háromszögben az egymásnak megfelelő \(\displaystyle CA\) és \(\displaystyle CE\) oldalak egyhenlők, vagyis \(\displaystyle AC=CE\).
Statisztika:
150 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 78 versenyző. 2 pontot kapott: 45 versenyző. 1 pontot kapott: 17 versenyző. 0 pontot kapott: 10 versenyző.
A KöMaL 2017. decemberi matematika feladatai