Problem B. 4913. (December 2017)

B. 4913. The diagonal \(\displaystyle AC\) bisects the angle lying at vertex \(\displaystyle A\) of a cyclic quadrilateral \(\displaystyle ABCD\). Let \(\displaystyle E\) denote a point on the extension of side \(\displaystyle AD\) beyond \(\displaystyle D\). Show that \(\displaystyle CE=CA\) holds if and only if \(\displaystyle DE=AB\).

Bulgarian problem

(3 pont)

Deadline expired on January 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mint jól ismert, a kerületi szögek tétele miatt a húrnégyszög \(\displaystyle A\)-ből induló szögfelezője felezi a körülírt kör \(\displaystyle A\)-val szemközti \(\displaystyle BD\) ívét, ezért \(\displaystyle BC=DC\). A húrnégyszög szemközti szögeinek összege \(\displaystyle 180^\circ\), ezért \(\displaystyle ABC\sphericalangle=180^\circ-CDA\sphericalangle=EDC\sphericalangle\).

Ezek figyelembe vételével az állítás két irányát a következőképpen igazolhatjuk.

\(\displaystyle \Longrightarrow\) Ha \(\displaystyle CE=CA\), akkor

\(\displaystyle \bullet\) Az \(\displaystyle ACE\) háromszög egyenlő szárú, és így \(\displaystyle CED\sphericalangle=CEA\sphericalangle=EAC\sphericalangle=DAC\sphericalangle=CAB\sphericalangle\);

\(\displaystyle \bullet\) Az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle EDC\) háromszögek egybevágók, mert két szögük valamint két oldaluk hossza megegyezik: \(\displaystyle ABC\sphericalangle=EDC\sphericalangle\) és \(\displaystyle CAB\sphericalangle=CED\sphericalangle\), illetve \(\displaystyle BC=DC\) és \(\displaystyle CA=CE\);

\(\displaystyle \bullet\) A két egybevágó háromszögben az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle ED\) oldalak felelnek meg egymásnak, tehát valóban \(\displaystyle DE=AB\).

\(\displaystyle \Longleftarrow\) Megfordítva, ha \(\displaystyle AB=DE\), akkor

\(\displaystyle \bullet\) Az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle EDC\) háromszögek egybevágók, mert két oldaluk valamint az általuk bezárt szög megegyezik: \(\displaystyle AB=ED\), \(\displaystyle BC=DC\) és \(\displaystyle ABC\sphericalangle=EDC\sphericalangle\);

\(\displaystyle \bullet\) A két egybevágó háromszögben az egymásnak megfelelő \(\displaystyle CA\) és \(\displaystyle CE\) oldalak egyhenlők, vagyis \(\displaystyle AC=CE\).

Statistics:

150 students sent a solution.
3 points:	78 students.
2 points:	45 students.
1 point:	17 students.
0 point:	10 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2017