Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

Problem B. 4915. (December 2017)

B. 4915. Given any points $\displaystyle A_1$, $\displaystyle A_2$, $\displaystyle A_3$, $\displaystyle A_4$, $\displaystyle A_5$ and $\displaystyle P$ in the plane, let $\displaystyle k_i$ denote the number of ways it is possible to select $\displaystyle i$ points out of $\displaystyle A_1$, $\displaystyle A_2$, $\displaystyle A_3$, $\displaystyle A_4$, $\displaystyle A_5$ such that the convex hull of the selected points should contain $\displaystyle P$. Show that $\displaystyle k_3=k_4$.

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat: Legyen $\displaystyle h^{A_j}$ azon $\displaystyle P$-t tartalmazó háromszögek száma, amiknek nem csúcsa $\displaystyle A_j$. Világos, hogy $\displaystyle k_3=(h^{A_1}+\ldots+h^{A_5})/2.$ Vegyük észre, hogy $\displaystyle h^{A_j}$ értéke $\displaystyle 2,$ ha $\displaystyle P$ az $\displaystyle A_j$ elhagyása után megmaradt négy pont konvex burkába esik, egyébként $\displaystyle 0$. Így $\displaystyle h^{A_1}+\ldots+h^{A_5}=2k_4.$ Az állítás az eddigiekből következik.

Statistics:

 91 students sent a solution. 5 points: 69 students. 4 points: 13 students. 3 points: 3 students. 2 points: 5 students. 1 point: 1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2017