Problem B. 4916. (December 2017)

B. 4916. Let \(\displaystyle P(a,b,c)\) be a fixed point in the 3D Cartesian coordinate system. Let \(\displaystyle a,b,c>0\) and let \(\displaystyle O\) denote the origin. Let \(\displaystyle S\) be a plane passing through \(\displaystyle P\) that intersects the positive coordinate axes at the points \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\) and \(\displaystyle Z\). Show that the volume of tetrahedron \(\displaystyle OXYZ\) is a minimum if and only if \(\displaystyle P\) is the centroid of triangle \(\displaystyle XYZ\triangle\).

(4 pont)

Deadline expired on January 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle X=(A, 0, 0)\), \(\displaystyle Y=(0, B, 0)\) és \(\displaystyle Z=(0, 0, C)\). Az \(\displaystyle OXYZ\) derékszögű tetraéder, amelynek az alaplapja pl. az \(\displaystyle OXY\) derékszögű háromszög, a magassága pedig \(\displaystyle OZ\), ezért a térfogata:

\(\displaystyle V=\frac{T_{OXY}\cdot OZ}3=\frac{\frac{OX\cdot OY}{2}\cdot OZ}3=\frac{OX\cdot OY \cdot OZ}{6}=\frac{ABC}{6}.\)

Az \(\displaystyle S\) sík egyenlete a tengelymetszetek ismeretében:

\(\displaystyle \frac{x}{A}+\frac{y}{B}+\frac{z}{C}=1.\)

A \(\displaystyle P\) pont ebben a síkban helyezkedik el, ezért

\(\displaystyle \frac{a}{A}+\frac{b}{B}+\frac{c}{C}=1.\)

A minimális térfogat meghatározásához használjuk fel a mértani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle V=\frac{ABC}{6}= \frac{abc}6\cdot\left(\root 3\of {\frac{A}{a}\cdot \frac{B}{b}\cdot\frac{C}{c}}\right)^3\ge \frac{abc}6\cdot\left(\frac{3}{\frac{a}{A}+\frac{b}{B}+\frac{c}{C}}\right)^3=\frac{abc}6\cdot\left(\frac{3}{1}\right)^3= abc\cdot \frac{9}{2}.\)

Egyenlőség pontosan akkor van, ha \(\displaystyle \frac{A}{a}=\frac{B}{B}=\frac{C}{c}\). Ez pedig akkor teljesül, ha \(\displaystyle \frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{1}{3}\). Ebben az esetben \(\displaystyle A=3a\), \(\displaystyle B=3b\) és \(\displaystyle C=3c\). Az \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\) és \(\displaystyle Z\) pontok megválaszthatók úgy, hogy ez teljesüljön, és ekkor \(\displaystyle P\) valóban az \(\displaystyle XYZ\) háromszög súlypontja.

Statistics:

46 students sent a solution.
4 points:	Csertán András, Csiszár Zoltán, Daróczi Sándor, Deák Bence, Dobák Dániel, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Richárd, Fitos Bence, Füredi Erik Benjámin, Gáspár Attila, Geretovszky Anna, Győrffi Ádám György, Győrffy Ágoston, Harsányi Benedek, Hervay Bence, Hoffmann Balázs, Kerekes Anna, Kiss Gergely, Kószó Máté József, Kupás Vendel Péter, Nagy 551 Levente, Nagy Nándor, Noszály Áron, Olosz Adél, Pituk Gábor, Reimann Kristóf, Richlik Róbert, Scheidler Barnabás, Schifferer András, Schrettner Jakab, Soós 314 Máté, Szabó 417 Dávid, Szabó 864 Blanka, Szabó 997 Balázs István, Szécsényi Nándor, Tiderenczl Dániel, Tóth 827 Balázs, Tran 444 Ádám, Tubak Dániel, Williams Hajna, Zólomy Kristóf, Zsigri Bálint.
3 points:	Fülöp Anna Tácia.
2 points:	2 students.
1 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2017