Problem B. 4918. (December 2017)

B. 4918. Given \(\displaystyle M\) unit vectors in the space (\(\displaystyle M\ge 2\)), prove that it is possible to select \(\displaystyle M-1\) unit vectors such that the length of their sum is at least unity.

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyenek az egységvektoraink \(\displaystyle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_M\), ahol tehát \(\displaystyle \mathbf{v}_1^2=\ldots=\mathbf{v}_M^2=1\), és legyen az összegük \(\displaystyle \mathbf{s}=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2+\ldots+\mathbf{v}_M\). \(\displaystyle M-1\) egységvektor összegeként az \(\displaystyle \mathbf{s}-\mathbf{v}_1\), \(\displaystyle \mathbf{s}-\mathbf{v}_2\), ... \(\displaystyle \mathbf{s}-\mathbf{v}_M\) vektorokat kaphatjuk; azt kell igazolnunk, hogy ezek közül valamelyik legalább egységnyi.

Vegyük az \(\displaystyle \mathbf{s}-\mathbf{v}_1\), ... \(\displaystyle \mathbf{s}-\mathbf{v}_M\) vektorok négyzetösszegét:

\(\displaystyle |\mathbf{s}-\mathbf{v}_1|^2+\ldots+|\mathbf{s}-\mathbf{v}_M|^2 = (\mathbf{s}-\mathbf{v}_1)^2+\ldots+(\mathbf{s}-\mathbf{v}_M)^2 = (\mathbf{s}^2-2\mathbf{s}\cdot\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_1^2)+\ldots+ (\mathbf{s}^2-2\mathbf{s}\cdot\mathbf{v}_M+\mathbf{v}_M^2) = \)

\(\displaystyle = M\cdot\mathbf{s}^2 -2\mathbf{s}\cdot(\mathbf{v}_1+\ldots+\mathbf{v}_M)+M\cdot1 = M\cdot\mathbf{s}^2 -2\mathbf{s}\cdot\mathbf{s}+M\cdot1 = (M-2)\mathbf{s}^2 +M. \)

Mivel \(\displaystyle M\ge2\), láthatjuk, hogy

\(\displaystyle |\mathbf{s}-\mathbf{v}_1|^2+\ldots+|\mathbf{s}-\mathbf{v}_M|^2 \ge M. \)

A baloldalon \(\displaystyle M\) darab szám összege áll; tehát valamelyikük legalább \(\displaystyle 1\), vagyis valamelyik \(\displaystyle 1\le k\le M\)-re \(\displaystyle |\mathbf{s}-\mathbf{v}_k|\ge1\).

Statistics:

68 students sent a solution.
5 points:	Baski Bence, Beke Csongor, Busa 423 Máté, Csépányi István, Csiszár Zoltán, Csizmadia Viktória, Daróczi Sándor, Dobák Dániel, Fraknói Ádám, Fuisz Gábor, Füredi Erik Benjámin, Gáspár Attila, Hegedűs Dániel, Hervay Bence, Janzer Orsolya Lili, Jedlovszky Pál, Kántor András Imre, Kerekes Anna, Kiss Gergely, Kószó Máté József, Márton Dénes, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Nándor, Noszály Áron, Pituk Gábor, Póta Balázs, Schrettner Jakab, Sebestyén Pál Botond, Shuborno Das, Szabó 417 Dávid, Szabó 991 Kornél, Szabó 997 Balázs István, Terjék András József, Weisz Máté, Zólomy Kristóf, Zsigri Bálint.
4 points:	Biczó Benedek, Bötkös Benedek, Fitos Bence, Fleiner Zsigmond, Győrffy Ágoston, Kupás Vendel Péter, Schweitzer Ádám, Soós 314 Máté, Várkonyi Zsombor.
3 points:	6 students.
2 points:	4 students.
1 point:	3 students.
0 point:	10 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2017