Problem B. 4922. (January 2018)

B. 4922. Find the integer solutions of the following simultaneous equations:

\(\displaystyle 3x-y^{2} =\frac{z}{2},\)

\(\displaystyle 3y+x^{2} =\frac{3z}{2}.\)

Proposed by B. Bíró, Eger

(3 pont)

Deadline expired on February 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A második egyenletből kivonva az első egyenlet 3-szorosát , rendezés után a következőt kapjuk:

\(\displaystyle x^2-9x+3y^2+3y=0.\)

4-gyel szorozva, és teljes négyzetté alakítás után:

\(\displaystyle (2x-9)^2+3(2y+1)^2=84.\)

A kapott egyenlet bal oldalán mindkét összeadandó nemnegatív. Mivel az első szám páratlan, ezért \(\displaystyle (2y+1)^2\) egy olyan páratlan négyzetszám, amely kisebb, mint \(\displaystyle 84/3\). így \(\displaystyle (2y+1)^2\) értéke csak 1, 9, vagy 25 lehet. Ha \(\displaystyle (2y+1)^2=9\) lenne, akkor \(\displaystyle (2x-9)^2\) értéke 57 lenne, ami nem négyzetszám. Tehát \(\displaystyle (2y+1)^2=1\) vagy \(\displaystyle (2y+1)^2=25\). Ekkor rendre \(\displaystyle (2x-9)^2=81\) vagy \(\displaystyle (2x-9)^2=9\). Így a \(\displaystyle (2x-9; 2y+1)\) rendezett pár a következők valamelyike lehet:

\(\displaystyle (9;1),(9;-1),(-9;1),(-9;-1),(3;5),(3;-5),(-3;5),(-3;-5).\)

Ekkor \(\displaystyle (x;y)\) rendre

\(\displaystyle (9;0), (9;-1), (0;0),(0;-1),(6;2),(6;-3),(3;2),(3;-3).\)

Ezután \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) ismeretében már \(\displaystyle z\) értékét is meghatározhatjuk akár az első, akár a második egyenlet segítségével, így a következő \(\displaystyle (x;y;z)\) hármasokat kapjuk:

\(\displaystyle (9;0;54), (9;-1;52), (0;0;0),(0;-1;-2),(6;2;28),(6;-3;18),(3;2;10),(3;-3;0).\)

Ezek a számhármasok valóban kielégítik mindkét egyenletet, így az egyenletrendszernek ez a nyolc számhármas a megoldása.

Statistics:

120 students sent a solution.
3 points:	72 students.
2 points:	25 students.
1 point:	17 students.
0 point:	6 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2018