Problem B. 4924. (January 2018)

B. 4924. Consider the perpendicular lines drawn from the centres of the escribed circles of a triangle to the corresponding sides. Prove that the three lines are concurrent.

(4 pont)

Deadline expired on February 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit.

Legyen az \(\displaystyle O\) pont a háromszög \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) oldalaira a megfelelő hozzáírt körök középpontjából bocsátott merőlegesek metszéspontja. Az \(\displaystyle A\) csúcsban meghúzott belső és külső szögfelezők merőlegesek egymásra. Ezért \(\displaystyle ε=ALF∡=RAF∡=α/2\), mert merőleges szárú szögek. Hasonlóan \(\displaystyle AMG∡=RAG∡\), amiből \(\displaystyle AMG∡=α/2=ε\). Hasonlóan \(\displaystyle CKE∡=μ=β/2\) és \(\displaystyle BKE∡=σ=γ/2\).

Emiatt a \(\displaystyle KLM\) háromszögben \(\displaystyle LKM∡=μ+σ=(β+γ)/2\). Az \(\displaystyle LMO\) háromszög egyenlő szárú, mert \(\displaystyle ALF∡=AMG∡=ε=α/2\). Ezért az \(\displaystyle OP\) egyenes (ahol \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle O\) pontból az \(\displaystyle LM\) egyenesre állított merőleges talppontja) az \(\displaystyle LOM∡\) szögfelezője. Ebből \(\displaystyle LOP∡=MOP∡=δ=90°- ε=90°- α/2\), vagyis \(\displaystyle LOM∡=2δ=180°-α=β+γ\).

Ez azt jelenti, hogy az \(\displaystyle LOM∡\) az \(\displaystyle LKM∡\) szög (ami a \(\displaystyle KLM\) háromszög köré írt körben kerületi szög) kétszerese, vagyis \(\displaystyle O\) a \(\displaystyle KLM\) háromszög köré írt körének a középpontja.

Hasonlóan látható be, hogy a háromszög \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) oldalaira a megfelelő hozzáírt körök középpontjából bocsátott merőlegesek metszéspontja, illetve az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle c\) oldalakra állított merőlegesek metszéspontja a \(\displaystyle KLM\) köré írt körének középpontja. Tehát a hozzáírt körök középpontjából a háromszög megfelelő oldalaira állított merőlegesek valóban egy pontban metszik egymást, mégpedig a hozzáírt körök középpontjai által meghatározott háromszög köré írt körének középpontjában.

Statistics:

95 students sent a solution.
4 points:	55 students.
3 points:	14 students.
2 points:	19 students.
0 point:	7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2018