Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4925. (January 2018)

B. 4925. Show that if the mean of the non-negative real numbers \(\displaystyle a_1,a_2,\dots,a_{2017}\) is 1, then the following inequality holds:

\(\displaystyle \frac{a_1}{a_1^{2018} + a_2 + a_3 + \ldots +a_{2017}} + \frac{a_2}{a_2^{2018} + a_3 + a_4 + \ldots +a_{2017} + a_1} + \ldots + \)

\(\displaystyle + \frac{a_{2017}}{a_{2017}^{2018} + a_1 + a_2 + \ldots +a_{2016}} \le 1.\)

(4 pont)

Deadline expired on February 12, 2018.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először is megjegyezzük, hogy mivel a számok nemnegatívak, és van köztük pozitív (hiszen átlaguk 1), ezért az egyenlőtlenség bal oldalán szereplő kifejezés értelmes, hiszen mindegyik nevezőben legalább egy pozitív összeadandó szerepel a nemnegatív összeadandók között.

Meg fogjuk mutatni, hogy az egyenlőtlenség bal oldalán szereplő mind a 2017 összeadandó legfeljebb \(\displaystyle 1/2017\), ezzel az állítást igazoljuk.

A szimmetria miatt elegendő igazolni, hogy

\(\displaystyle \frac{a_1}{a_1^{2018}+a_2+a_3+\dots+a_{2017}}\leq \frac{1}{2017}.\)

A (pozitív) nevezőkkel szorozva:

\(\displaystyle 2017a_1\leq a_1^{2018}+a_2+a_3+\dots+a_{2017}.\)

Mindkét oldalhoz \(\displaystyle a_1\)-et adva, és felhasználva, hogy a számok átlaga 1:

\(\displaystyle 2018a_1\leq a_1^{2018}+2017.\)

2018-cal való osztás után az

\(\displaystyle a_1\leq \frac{a_1^{2018}+2017}{2018}\)

egyenlet bal oldalán az \(\displaystyle a_1^{2018},1,1,\dots,1\) (ahol 2017 darab 1-est soroltunk fel) nemnegatív számok mértani közepe áll, míg jobb oldalán ugyanezen számok számtani közepe. A számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenség szerint ez az egyenlőtlenség fennáll, és egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle a_1^{2018}=1\), azaz, ha \(\displaystyle a_1=1\). Mivel csak ekvivalens átalakításokat hajtottunk végre, ezzel igazoltuk, hogy a bizonyítandó egyenlőtlenség bal oldalán mind a 2017 tag értéke legfeljebb \(\displaystyle 1/2017\), így összegük valóban legfeljebb 1. Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha minden összeadandó \(\displaystyle 1/2017\), vagyis ha \(\displaystyle a_1=a_2=\dots=a_{2017}=1\).


Statistics:

71 students sent a solution.
4 points:60 students.
3 points:2 students.
2 points:4 students.
1 point:4 students.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2018