Problem B. 4925. (January 2018)
B. 4925. Show that if the mean of the non-negative real numbers \(\displaystyle a_1,a_2,\dots,a_{2017}\) is 1, then the following inequality holds:
\(\displaystyle \frac{a_1}{a_1^{2018} + a_2 + a_3 + \ldots +a_{2017}} + \frac{a_2}{a_2^{2018} + a_3 + a_4 + \ldots +a_{2017} + a_1} + \ldots + \)
\(\displaystyle + \frac{a_{2017}}{a_{2017}^{2018} + a_1 + a_2 + \ldots +a_{2016}} \le 1.\)
(4 pont)
Deadline expired on February 12, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Először is megjegyezzük, hogy mivel a számok nemnegatívak, és van köztük pozitív (hiszen átlaguk 1), ezért az egyenlőtlenség bal oldalán szereplő kifejezés értelmes, hiszen mindegyik nevezőben legalább egy pozitív összeadandó szerepel a nemnegatív összeadandók között.
Meg fogjuk mutatni, hogy az egyenlőtlenség bal oldalán szereplő mind a 2017 összeadandó legfeljebb \(\displaystyle 1/2017\), ezzel az állítást igazoljuk.
A szimmetria miatt elegendő igazolni, hogy
\(\displaystyle \frac{a_1}{a_1^{2018}+a_2+a_3+\dots+a_{2017}}\leq \frac{1}{2017}.\)
A (pozitív) nevezőkkel szorozva:
\(\displaystyle 2017a_1\leq a_1^{2018}+a_2+a_3+\dots+a_{2017}.\)
Mindkét oldalhoz \(\displaystyle a_1\)-et adva, és felhasználva, hogy a számok átlaga 1:
\(\displaystyle 2018a_1\leq a_1^{2018}+2017.\)
2018-cal való osztás után az
\(\displaystyle a_1\leq \frac{a_1^{2018}+2017}{2018}\)
egyenlet bal oldalán az \(\displaystyle a_1^{2018},1,1,\dots,1\) (ahol 2017 darab 1-est soroltunk fel) nemnegatív számok mértani közepe áll, míg jobb oldalán ugyanezen számok számtani közepe. A számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenség szerint ez az egyenlőtlenség fennáll, és egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle a_1^{2018}=1\), azaz, ha \(\displaystyle a_1=1\). Mivel csak ekvivalens átalakításokat hajtottunk végre, ezzel igazoltuk, hogy a bizonyítandó egyenlőtlenség bal oldalán mind a 2017 tag értéke legfeljebb \(\displaystyle 1/2017\), így összegük valóban legfeljebb 1. Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha minden összeadandó \(\displaystyle 1/2017\), vagyis ha \(\displaystyle a_1=a_2=\dots=a_{2017}=1\).
Statistics:
71 students sent a solution. 4 points: 60 students. 3 points: 2 students. 2 points: 4 students. 1 point: 4 students. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2018