Problem B. 4940. (March 2018)

B. 4940. What may be the value of the sum \(\displaystyle x+y+z\) if

\(\displaystyle x^4 + 4y^4 + 16 z^4 + 64 = 32xyz? \)

(3 pont)

Deadline expired on April 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Alkalmazzuk az \(\displaystyle x^4,4y^4,16z^4,64\) nemnegatív számokra a számtani és a mértani közepek közötti egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle \frac{x^4+4y^4+16z^4+64}{4}\geq 8|xyz|,\)

ahol egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a számok egyenlők: \(\displaystyle x^4=4y^4=16z^4=64\).

Ezek szerint \(\displaystyle x^4+4y^4+16z^4+64\geq 32|xyz|\geq 32xyz\) mindig teljesül. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn – vagyis a feladatban szereplő egyenlet pontosan akkor teljesül –, ha egyrészt \(\displaystyle x^4=4y^4=16z^4=64\), másrészt \(\displaystyle xyz=|xyz|\). Tehát az egyenlet pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle |x|=2\sqrt{2},|y|=2,|z|=\sqrt{2}\) és \(\displaystyle xyz\geq 0\). Utóbbi feltétel pontosan akkor teljesül a nemnulla \(\displaystyle x,y,z\) számokra, ha köztük páros sok (0 vagy 2) negatív van.

Ha mindegyikük pozitív, akkor \(\displaystyle x=2\sqrt{2},y=2,z=\sqrt{2}\) és \(\displaystyle x+y+z=2+3\sqrt{2}\).

Ha \(\displaystyle x>0\) és \(\displaystyle y,z<0\), akkor \(\displaystyle x=2\sqrt{2},y=-2,z=-\sqrt{2}\) és \(\displaystyle x+y+z=-2+\sqrt{2}\).

Ha \(\displaystyle y>0\) és \(\displaystyle x,z<0\), akkor \(\displaystyle x=-2\sqrt{2},y=2,z=-\sqrt{2}\) és \(\displaystyle x+y+z=2-3\sqrt{2}\).

Ha \(\displaystyle z>0\) és \(\displaystyle x,y<0\), akkor \(\displaystyle x=-2\sqrt{2},y=-2,z=\sqrt{2}\) és \(\displaystyle x+y+z=-2-\sqrt{2}\).

Tehát \(\displaystyle x+y+z\) értéke \(\displaystyle 2+3\sqrt{2}\), \(\displaystyle -2+\sqrt{2}\), \(\displaystyle 2-3\sqrt{2}\) vagy \(\displaystyle -2-\sqrt{2}\) lehet.

Statistics:

79 students sent a solution.
3 points:	Ajtai Boglárka, Argay Zsolt, Baski Bence, Beke Csongor, Daróczi Sándor, Deák Bence, Dobák Dániel, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Richárd, Fülöp Anna Tácia, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Gyetvai Miklós, Győrffi Ádám György, Győrffy Ágoston, Győrffy Johanna, Hámori Janka, Hegedűs Dániel, Hervay Bence, Jánosik Áron, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kocsis Anett, Kupás Vendel Péter, Mátravölgyi Bence, Nagy Dorottya, Olosz Adél, Richlik Róbert, Saár Patrik, Schifferer András, Schneider Anna, Shuborno Das, Surján Anett, Szabó 417 Dávid, Szabó 997 Balázs István, Tiderenczl Dániel, Tóth Ábel, Tóth-Rohonyi Iván, Tran 444 Ádám, Velich Nóra, Vida Tamás, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
2 points:	26 students.
1 point:	6 students.
0 point:	4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2018