Problem B. 4943. (March 2018)

B. 4943. There is an ant at each corner of a given face of a rectangular brick. Each ant wants to get to the opposite vertex of the cuboid, that is, to the other endpoint of the space diagonal drawn from his vertex of the cuboid. Is it possible for the ants to crawl to the opposite vertices along the surface of the brick, so that they follow the shortest possible paths and their paths do not intersect?

Proposed by M. E. Gáspár, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on April 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Amíg egy hangya valamelyik lap síkjában halad, legrövidebb rész-útvonala egyenes szakasz; legrövidebb teljes útja ezért a téglatest egymáshoz csatlakozó lapjain haladó töröttvonal. Ha valamelyik csúcsból a három, azzal szomszédos lapok egyikén elindulva a lap határához ér, a megcélzott szemköztes csúcsot tartalmazó lapra jut, amelyen továbbmenve a kívánt csúcsba érkezik. A legrövidebb útvonal tehát két, a téglatest közös élben szomszédos lapján futó egy-egy szakaszból álló töröttvonal.

Terítsük ki egy síkba a legrövidebb utat tartalmazó két (szomszédos) lapot. Látható, hogy a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontok közötti legrövidebb út a \(\displaystyle PQ\) szakasz, amelynek hossza (az ábra jelöléseivel) \(\displaystyle \sqrt{a^2 + (b+c)^2}=\sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + 2bc}\). Ez akkor minimális, ha \(\displaystyle a \geqslant b\,,\, c\). Tegyük fel, hogy az általános alakú téglatest élei közül \(\displaystyle AB\) a leghosszabb, és a hangyák kezdetben az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokban tartózkodnak. Egymást nem metsző útvonalaikat az ábrán különböző színekkel megrajzolva láthatjuk.

Statistics:

91 students sent a solution.
4 points:	Baski Bence, Biczó Benedek, Bukva Dávid, Daróczi Sándor, Deák Bence, Dobák Dániel, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Richárd, Fitos Bence, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Győrffy Ágoston, Győrffy Johanna, Hegedűs Dániel, Jánosik Áron, Kerekes Anna, Kovács 157 Zita, Mátravölgyi Bence, Nagy 551 Levente, Sebestyén Pál Botond, Shuborno Das, Soós 314 Máté, Surján Anett, Szőnyi Laura, Tiderenczl Dániel, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
3 points:	Ács Andor, Apagyi Dávid, Barta Gergely, Csaplár Viktor, Gyetvai Miklós, Győrffi Ádám György, Hervay Bence, Jánosik Máté, Janzer Orsolya Lili, Kiss Gergely, Kószó Máté József, Kupás Vendel Péter, Mikulás Zsófia, Németh Ábel, Nguyen Bich Diep, Noszály Áron, Schrettner Jakab, Szabó 417 Dávid, Velich Nóra, Vida Tamás.
2 points:	13 students.
1 point:	19 students.
0 point:	12 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2018