Problem B. 4944. (March 2018)

B. 4944. Let \(\displaystyle t\) denote the area of (some) triangle of maximum area inscribed in a convex plane figure \(\displaystyle \mathcal{S}\), and let \(\displaystyle T\) denote the area of (some) triangle of minimum area circumscribed about \(\displaystyle \mathcal{S}\). What is the maximum of the ratio \(\displaystyle \frac{T}{t}\)?

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle ABC\) egy, az \(\displaystyle \mathcal{S}\) síkidomba írt (valamely) maximális területű háromszög (és így a területe: \(\displaystyle T_{ABC}=t\)).

Lemma: Megmutatjuk, hogy ekkor az az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszög, aminek a középvonali háromszöge az \(\displaystyle ABC\) háromszög az \(\displaystyle \mathcal{S}\) síkidomot (belsejében és a határán) tartalmazó (nem feltétlenül minimális területű) háromszög.

Indirekt tegyük fel, hogy ez nem igaz, azaz az \(\displaystyle \mathcal{S}\) síkidomnak van olyan pontja, amelyet \(\displaystyle A'B'C'\) nem tartalmaz. Ekkor az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszögnek legalább az egyik oldalegyenese két részre vágja az \(\displaystyle \mathcal{S}\) síkidomot. Legyen ez a metsző egyenes a \(\displaystyle B'C'\) oldalegyenes! Ekkor az \(\displaystyle \mathcal{S}\) határán van olyan \(\displaystyle A^*\) pont, amely a minimális \(\displaystyle t\) területű \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle BC\) oldalától messzebb van, mint az \(\displaystyle A\) pont.

Viszont az \(\displaystyle \mathcal{S}\) síkidom konvexitása miatt ekkor az \(\displaystyle A^*BC\) háromszög teljesen \(\displaystyle \mathcal{S}\) belsejében van, másfelől viszont \(\displaystyle T_{A^*BC} > T_{ABC}=t\) (a \(\displaystyle BC\) oldalhoz tartozó magasságok miatt), ami ellentmond az \(\displaystyle ABC\) háromszög választásának.

Ezzel a lemmát igazoltuk.

A lemma alapján \(\displaystyle \dfrac{T}{t} \leq 4\). Viszont például az \(\displaystyle \mathcal{S}\)-t körnek választva triviálisan igaz az, hogy mind a megfelelő beírt, mind a megfelelő köréírt háromszögek olyan szabályos háromszögek, melyek területeinek az arányára éppen \(\displaystyle \dfrac{T}{t} = 4\).

Azaz a kérdéses arány maximuma: \(\displaystyle \boxed{\:\dfrac{T}{t} = 4. \:}\)

Statistics:

28 students sent a solution.
5 points:	Baski Bence, Beke Csongor, Csépányi István, Csiszár Zoltán, Dobák Dániel, Fekete Richárd, Fraknói Ádám, Füredi Erik Benjámin, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Janzer Orsolya Lili, Kántor András Imre, Kerekes Anna, Kocsis Anett, Nagy Nándor, Pituk Gábor, Saár Patrik, Schrettner Jakab, Sebestyén Pál Botond, Soós 314 Máté, Surján Anett, Szabó 417 Dávid, Várkonyi Zsombor, Weisz Máté, Zólomy Kristóf, Zsigri Bálint.
3 points:	1 student.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2018