Problem B. 4945. (March 2018)
B. 4945. Find all positive integers \(\displaystyle n\) for which
\(\displaystyle 1\cdot 2^0+2\cdot 2^1+ 3\cdot 2^2+ \ldots + n\cdot 2^{n-1} \)
is a perfect square.
Based on the idea of L. Németh, Fonyód
(5 pont)
Deadline expired on April 10, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Először hozzuk zárt alakra az összeget:
\(\displaystyle 1\cdot 2^0+2\cdot 2^1+3\cdot 2^2+\dots+n\cdot 2^{n-1}=\\=(2^0+2^1+2^2+\dots+2^{n-1})+ (2^1+2^2+\dots+2^{n-1})+\dots +(2^{n-2}+2^{n-1})+2^{n-1}=\)
\(\displaystyle =(2^n-1)+(2^{n-1}-2)+\dots+(2^n-2^{n-2})+(2^n-2^{n-1})=\)
\(\displaystyle =n\cdot2^n-(2^n-1)=(n-1)2^n+1.\)
Azt szeretnénk meghatározni, hogy ez mikor négyzetszám, vagyis milyen \(\displaystyle n\)-ekre van egész megoldása az \(\displaystyle (n-1)2^n+1=k^2\) egyenletnek. Az egyenletet átrendezve és szorzattá alakítva:
\(\displaystyle (n-1)2^n=(k+1)(k-1).\)
A \(\displaystyle k+1\) és \(\displaystyle k-1\) számok közül csak az egyik lehet 4-gyel osztható, hiszen a különbségük 2. így valamelyiküknek oszthatónak kell lennie \(\displaystyle 2^{n-1}\)-nel, ezért \(\displaystyle k+1\geq 2^{n-1}\). Ekkor viszont \(\displaystyle k-1\leq 2(n-1)\), és így
\(\displaystyle 2^{n-1}\leq k+1=(k-1)+2\leq 2(n-1)+2=2n\)
is teljesül. Megmutatjuk, hogy ha \(\displaystyle n\geq 5\), akkor ez nem lehetséges. Ha \(\displaystyle n=5\), akkor \(\displaystyle 2^4=16\) és \(\displaystyle 2\cdot 5=10\), tehát az egyenlőtlenség valóban nem áll fenn. Ha viszont valamely \(\displaystyle 1<n\)-re \(\displaystyle 2^{n-1}>2n\), akkor \(\displaystyle 2^n=2\cdot 2^{n-1}>2\cdot 2n>2(n+1)\), tehát az egyenlőtlenség a következő \(\displaystyle n\) értékre sem teljesül, vagyis innentől soha sem. így \(\displaystyle n\) értéke csak \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\) vagy \(\displaystyle 4\) lehet. Ekkor \(\displaystyle (n-1)2^n+1\) értéke rendre \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 17\), \(\displaystyle 49\), vagyis a kifejezés értéke pontosan akkor négyzetszám, ha \(\displaystyle n=1\) vagy \(\displaystyle n=4\).
Statistics:
89 students sent a solution. 5 points: Absur Khan Siam, Baski Bence, Biczó Benedek, Busa 423 Máté, Csányi Dávid, Csépányi István, Daróczi Sándor, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Richárd, Fitos Bence, Fleiner Zsigmond, Füredi Erik Benjámin, Gáspár Attila, Geretovszky Anna, Győrffi Ádám György, Hegedűs Dániel, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kupás Vendel Péter, Mikulás Zsófia, Nagy 551 Levente, Saár Patrik, Sárvári Tibor, Schifferer András, Schneider Anna, Schrettner Jakab, Shuborno Das, Soós 314 Máté, Szabó 417 Dávid, Tiderenczl Dániel, Tóth 827 Balázs, Vári-Kakas Andor, Zólomy Kristóf, Zsigri Bálint. 4 points: 18 students. 3 points: 10 students. 2 points: 18 students. 1 point: 6 students. 0 point: 3 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2018