Problem B. 4946. (March 2018)

B. 4946. Let \(\displaystyle f(x)\) be a polynomial of real coefficients such that \(\displaystyle f(k)\) is an integer for every positive integer \(\displaystyle k\) that ends in \(\displaystyle 5\) or \(\displaystyle 8\) in decimal notation.

\(\displaystyle a)\) Prove that \(\displaystyle f(0)\) is an integer.

\(\displaystyle b)\) Give an example of a polynomial \(\displaystyle f(x)\) that meets the above conditions, but \(\displaystyle f(1)\) is not an integer.

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. (a) A feltétel miatt végtelen sok olyan egész hely van, ahol \(\displaystyle f\) értéke egész; néhány ilyenre polinomot illesztve látjuk, hogy \(\displaystyle f(x)\) racionális együtthatós. Az együtthatók nevezőinek egy \(\displaystyle m\) közös többszörősét véve, az \(\displaystyle m\cdot f(x)\) polinom egész együtthatós.

Azt állítjuk, hogy léteznek olyan \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egészek, amelyekre a következő tulajdonságok teljesülnek:

   (1) \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) relatív prímek;

   (2) \(\displaystyle a\) utolsó számjegye \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle b\) utolsó számjegye \(\displaystyle 5\);

   (3) \(\displaystyle ab\) osztható \(\displaystyle m\)-mel.

Az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) előállításához bontsuk fel \(\displaystyle m\)-et egy \(\displaystyle 2\)-hatvány és egy páratlan szám szorzatára: legyen \(\displaystyle m=2^cp\). Ezek után legyen \(\displaystyle a\) egy \(\displaystyle 2^c\)-nél nem kisebb, \(\displaystyle 2^{4k+3}\) alakú szám (az ilyenek utolsó jegye \(\displaystyle 8\)), illetve legyen \(\displaystyle b=5p\). A \(\displaystyle p\) páratlan, így \(\displaystyle b\) utolsó jegye \(\displaystyle 5\). Mivel \(\displaystyle 2^c\,\big|\,a\) és \(\displaystyle p\,\big|\,b\), teljesül, hogy \(\displaystyle m=2^cp\,\big|\,ab\). Végül, \(\displaystyle a\) egy \(\displaystyle 2\)-hatvány, míg \(\displaystyle b\) páratlan, ezek relatív prímek.

Mostantól legyen \(\displaystyle F(x)=ab\cdot f(x) = \dfrac{ab}{m} \cdot \Big( m \cdot f(x) \Big)\); mivel \(\displaystyle \dfrac{ab}{m}\) egész, és \(\displaystyle m \cdot f(x)\) együtthatós, az \(\displaystyle F(x)\) is egész együtthatós polinom. Mint jól ismert, de a polinom kifejtéséből is ellenőrizhető, ebből következik, hogy bármely \(\displaystyle k\) egész számra \(\displaystyle F(k)\equiv F(0)\pmod{k}\).

A feltétel szerint \(\displaystyle f(a)\) és \(\displaystyle f(b)\) is egész szám, így

\(\displaystyle F(0) \equiv F(a) = ab \cdot f(a) \equiv 0 \pmod{a} \)

és

\(\displaystyle F(0) \equiv F(b) = ab \cdot f(b) \equiv 0 \pmod{b}, \)

vagyis \(\displaystyle F(0)\) osztható \(\displaystyle a\)-val és \(\displaystyle b\)-vel is. Mivel \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) relatív prímek, \(\displaystyle ab\,\big|\,F(0)\), vagyis \(\displaystyle f(0)=\dfrac{F(0)}{ab}\) egész szám.

(b) Ilyen polinom például

\(\displaystyle f(x) = \dfrac{x(x+2)}{5}. \)

Ha \(\displaystyle k\) utolsó számjegye \(\displaystyle 5\) vagy \(\displaystyle 8\), akkor \(\displaystyle k\), illetve \(\displaystyle k+2\) osztható \(\displaystyle 5\)-tel, így \(\displaystyle f(k)=\dfrac{k(k+2)}{5}\) egész szám. Ugyanakkor \(\displaystyle f(1)=\dfrac35\) nem egész.

Statistics:

40 students sent a solution.
6 points:	Dobák Dániel, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Póta Balázs, Schrettner Jakab, Szabó 417 Dávid, Szabó 991 Kornél, Weisz Máté.
5 points:	Pituk Gábor, Saár Patrik, Szabó 997 Balázs István.
4 points:	2 students.
2 points:	23 students.
1 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2018