Problem B. 4947. (March 2018)

B. 4947. Prove that there is exactly one way of dissecting a cube into five tetrahedra. (Two dissections are not considered different if the resulting pieces are congruent.)

(6 pont)

Deadline expired on April 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. A kocka élhossza legyen \(\displaystyle 1\). Az öt tetraédernek összesen \(\displaystyle 20\) háromszöglapja van. A tetraéderek lapsíkjai közül hat egybeesik a kocka lapsíkjaival, a többit nevezzük belső lapsíknak. Mivel a kocka lapjai négyzetek, a tetraédereké pedig háromszögek, így a kocka minden lapjára legalább két tetraéderhez tartozó háromszöglap illeszkedik, vagyis összesen legalább \(\displaystyle 12\) háromszöglap a \(\displaystyle 20\)-ból. Mivel minden belső lapsíkra legalább két háromszöglap illeszkedik, így legfeljebb \(\displaystyle 4\) belső lapsík lehet.

Ha legfeljebb három belső lapsík van, akkor minden tetraédernek van olyan lapja, amely illeszkedik a kocka egyik lapjára. Egy ilyen lap területe legfeljebb \(\displaystyle 1/2\) (*), a megfelelő tetraéder hozzá tartozó magassága pedig triviálisan legfeljebb \(\displaystyle 1\), így minden tetraéder térfogata legfeljebb \(\displaystyle 1/6\), ez nem lehet. Így pontosan \(\displaystyle 4\) belső lapsík van, és szükségképpen van egy "belső" tetraéder, amit pont ez a négy sík határol (különben továbbra is minden tetraédernek lenne közös lapsíkja a kockával, és az előző érvelésünk továbbra is érvényes lenne). Következésképp a négy belső lapsík mindegyike háromszögben metszi a kockát, és a további négy tetraéder mindegyikének pontosan egy közös lapja van a belső tetraéderrel.

Mivel a metszet háromszög, így minden belső lapsík pontosan három lapját metszi a kockának, amelyek szükségképpen egy közös csúcsban találkoznak. Illetve kaptuk, hogy a belső lapsíkokra \(\displaystyle 8\), a kocka határára pedig pontosan \(\displaystyle 12\) háromszöglap illeszkedik, így mind a hat négyzetlapot egy-egy átlóval kell kettévágjuk. Ezekből következik, hogy az egyetlen lehetséges felbontás az, amit az ábrán láthatunk (a kép forrása).

*Az állítás indoklásra szorul, de meglehetősen jól ismert, lásd például itt.

Statistics:

29 students sent a solution.
6 points:	Beke Csongor, Dobák Dániel, Fitos Bence, Füredi Erik Benjámin, Gáspár Attila, Hegedűs Dániel, Kerekes Anna, Nagy Nándor, Schrettner Jakab, Shuborno Das, Szabó 417 Dávid, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
5 points:	Bursics András, Csaplár Viktor, Mikulás Zsófia, Nguyen Bich Diep, Soós 314 Máté, Tran 444 Ádám, Zólomy Kristóf.
4 points:	4 students.
3 points:	1 student.
2 points:	3 students.
1 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2018