A B. 4948. feladat (2018. április)

B. 4948. Az \(\displaystyle n\) pozitív egész számot nevezzük darabosnak, ha van olyan prímosztója, amely nagyobb \(\displaystyle \sqrt{n}\)-nél. Például a \(\displaystyle 2017\) (prímszám), a \(\displaystyle 2018=2\cdot 1009\) és a \(\displaystyle 2022=2\cdot3\cdot 337\) darabosak, a \(\displaystyle 2023=7\cdot 17^2\) nem az. Hány olyan darabos szám van, amelynek csak 30-nál kisebb prímosztói vannak?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(3 pont)

A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először is megjegyezzük, hogy ha az \(\displaystyle n\) (pozitív egész) szám darabos, akkor pontosan egy olyan prímosztója van, ami nagyobb, mint \(\displaystyle \sqrt{n}\), hiszen két ilyen prímosztó szorzata már nagyobb lenne \(\displaystyle n\)-nél.

Számoljuk tehát meg az olyan \(\displaystyle n\) darabos számokat, melyeknek minden prímosztója kisebb 30-nál aszerint, hogy mi ez a \(\displaystyle \sqrt{n}\)-nél nagyobb prímosztó. Ennek a \(\displaystyle p\) prímosztónak természetesen szintén 30-nál kisebbnek kell lennie, így \(\displaystyle p\in\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29\}\). Ha \(\displaystyle n=pk\) alakú, akkor a \(\displaystyle p>\sqrt{n}=\sqrt{pk}\) feltétel pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle k<p\), vagyis, ha \(\displaystyle k\in\{1,2,3,\dots,p-1\}\). így a csak 30-nál kisebb prímosztókkal rendelkező darabos számok száma

\(\displaystyle (2-1)+(3-1)+(5-1)+(7-1)+(11-1)+(13-1)+(17-1)+(19-1)+\)

\(\displaystyle +(23-1)+(29-1)=119.\)

Statisztika:

93 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	78 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.

A KöMaL 2018. áprilisi matematika feladatai