Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4948. (April 2018)

B. 4948. The positive integer \(\displaystyle n\) is said to be chunky if it has a prime factor greater than \(\displaystyle \sqrt{n}\). For example, \(\displaystyle 2017\) (a prime number), \(\displaystyle 2018=2\cdot 1009\) and \(\displaystyle 2022=2\cdot3\cdot 337\) are chunky, while \(\displaystyle 2023=7\cdot 17^2\) is not. How many chunky numbers are there which only have prime factors less than 30?

Proposed by S. Róka, Nyíregyháza

(3 pont)

Deadline expired on May 10, 2018.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először is megjegyezzük, hogy ha az \(\displaystyle n\) (pozitív egész) szám darabos, akkor pontosan egy olyan prímosztója van, ami nagyobb, mint \(\displaystyle \sqrt{n}\), hiszen két ilyen prímosztó szorzata már nagyobb lenne \(\displaystyle n\)-nél.

Számoljuk tehát meg az olyan \(\displaystyle n\) darabos számokat, melyeknek minden prímosztója kisebb 30-nál aszerint, hogy mi ez a \(\displaystyle \sqrt{n}\)-nél nagyobb prímosztó. Ennek a \(\displaystyle p\) prímosztónak természetesen szintén 30-nál kisebbnek kell lennie, így \(\displaystyle p\in\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29\}\). Ha \(\displaystyle n=pk\) alakú, akkor a \(\displaystyle p>\sqrt{n}=\sqrt{pk}\) feltétel pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle k<p\), vagyis, ha \(\displaystyle k\in\{1,2,3,\dots,p-1\}\). így a csak 30-nál kisebb prímosztókkal rendelkező darabos számok száma

\(\displaystyle (2-1)+(3-1)+(5-1)+(7-1)+(11-1)+(13-1)+(17-1)+(19-1)+\)

\(\displaystyle +(23-1)+(29-1)=119.\)


Statistics:

93 students sent a solution.
3 points:78 students.
2 points:15 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2018