Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4949. (April 2018)

B. 4949. The feet of the altitudes drawn from vertices \(\displaystyle B\) and \(\displaystyle C\) of an acute-angled triangle \(\displaystyle ABC\) are \(\displaystyle D\) and \(\displaystyle E\), respectively. Let \(\displaystyle P\) be an interior point of \(\displaystyle AD\), and let \(\displaystyle Q\) be an interior point of \(\displaystyle AE\) such that \(\displaystyle EDPQ\) is a cyclic quadrilateral. Show that the line segments \(\displaystyle BP\) and \(\displaystyle CQ\) intersect on the median drawn from \(\displaystyle A\).

(3 pont)

Deadline expired on May 10, 2018.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Először megmutatjuk, hogy a \(\displaystyle PQBC\) négyszög trapéz. A háromszög szögeit jelöljük a szokásos módon.

A \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\) pontok magasságok talppontjai, ezért ezekből a pontokból a \(\displaystyle BC\) oldal derékszögben látszik, azaz a \(\displaystyle BCDE\) négyszög húrnégyszög. Legyen \(\displaystyle EBC\angle=\beta\). A húrnégyszögek tétele alapján emiatt \(\displaystyle CDE\angle=180^{\circ}-\beta\). A \(\displaystyle CDE\angle\) mellékszöge \(\displaystyle EDP\angle=\beta\). Most használjuk fel, hogy \(\displaystyle DPQE\) is húrnégyszög, így az \(\displaystyle EDP\) szöggel szemközti szög, \(\displaystyle EQP\angle=180^{\circ}-\beta\). Ebből pedig már következik, hogy \(\displaystyle PQA\angle= \beta=CBA\angle\), vagyis a \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle QP\) szakaszok párhuzamosak, tehát a \(\displaystyle PQBC\) négyszög valóban trapéz.

Ismert, hogy amennyiben a trapéz szárai metszik egymást, akkor a szárak metszéspontja, az alapok felezőpontjai és az átlók metszéspontja egy egyenesen vannak. Ez igazolja az állítást.


Statistics:

69 students sent a solution.
3 points:66 students.
2 points:2 students.
1 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2018