Problem B. 4952. (April 2018)

B. 4952. Is it possible to dissect a cube with a finite number of straight cuts so that the pieces can be put together to form two smaller congruent cubes?

Proposed by Z. Gyenes, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha egy egyenes hasáb \(\displaystyle A\) alaplapját véges sok egyenes vágással feldaraboljuk, akkor ezen egyenesekre illeszkedő, \(\displaystyle A\)-ra merőleges síkokkal a hasáb feldarabolását kapjuk. Megmutatjuk, hogy a feladat már ilyen speciális vágásokkal is megoldható. Mindez azon múlik, hogy bármely két egyenlő területű téglalap egymásba átdarabolható. Ha ugyanis az egyik téglalap szomszédos oldalai \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), a másiké pedig \(\displaystyle a''\) és \(\displaystyle b''\), ahol \(\displaystyle a \leqslant a'' \leqslant b'' \leqslant b\), akkor az ábrán látható módon az \(\displaystyle a\,,\, b\) oldalú \(\displaystyle ABCD\) téglalapot először az \(\displaystyle A'D=a''\) oldalú, \(\displaystyle b''\) magasságú \(\displaystyle A'B'CD\) paralelogrammába, majd azt a vele megegyező területű, \(\displaystyle B''C''=B'C=a''\) oldalú \(\displaystyle A''B''C''D''\) téglalapba darabolhatjuk át.

A fentiek szerint egy \(\displaystyle 2 \times 2\times 2\)-es kockát valamelyik \(\displaystyle 2\times 2\)-es lapjára merőleges vágásokkal \(\displaystyle \root {3}\of {4}\times 2\root {3}\of {2}\times 2\)-es, majd azt egyik \(\displaystyle 2\root {3}\of {2}\times 2\)-es lapjára merőleges vágásokkal \(\displaystyle \root {3}\of {4}\times \root {3}\of {4}\times 2\root {3}\of {4}\)-es téglatestté szabhatjuk át, amit végül a \(\displaystyle 2\root {3}\of {4}\) hosszúságú éleinek közös felezősíkjával két \(\displaystyle \root {3}\of {4}\times \root {3}\of {4}\times \root {3}\of {4}\)-es kockára vághatunk.

Statistics:

21 students sent a solution.
5 points:	Dobák Dániel, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Janzer Orsolya Lili, Nagy Nándor, Pituk Gábor.
4 points:	Kerekes Anna, Schrettner Jakab, Sebestyén Pál Botond.
1 point:	1 student.
0 point:	11 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2018