A B. 4954. feladat (2018. április)

B. 4954. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle A\) csúcsán keresztül húzzunk egy \(\displaystyle BC\)-vel párhuzamos \(\displaystyle \ell\) egyenest. Az \(\displaystyle \ell\) messe az \(\displaystyle ABC\), illetve az \(\displaystyle ACB\) szög belső szögfelezőjét \(\displaystyle K\)-ban, illetve \(\displaystyle L\)-ben. A beírt kör \(\displaystyle BC\)-n levő érintési pontja \(\displaystyle D\). Mutassuk meg, hogy a körülírt kör a \(\displaystyle KL\) szakasz Thalész-körét két pontban metszi, és ez a két pont kollineáris \(\displaystyle D\)-vel.

(6 pont)

A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle D\)-nek ugyanaz a körülírt körre és a \(\displaystyle KL\) szakasz Thalész-körére vonatkozó (előjeles) hatványa. Legyen \(\displaystyle BC\) felezőpontja \(\displaystyle F\), az \(\displaystyle LK\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle F'\), a beírt kör középpontja \(\displaystyle O\), az \(\displaystyle OD\) egyenes és \(\displaystyle \ell\) metszéspontja pedig \(\displaystyle D'\). Nyilván \(\displaystyle D'D\) a háromszög \(\displaystyle BC=a\) oldalához tartozó \(\displaystyle m_a\) magasságvonala. \(\displaystyle KBC\sphericalangle = BKL \sphericalangle\) váltószögek, ugyanígy \(\displaystyle LCB\sphericalangle = KLC \sphericalangle\) is; ezért az \(\displaystyle OBC\) és \(\displaystyle OKL\) háromszögek hasonlók; a hasonlóság aránya (az \(\displaystyle ABC\) háromszög területét \(\displaystyle t\)-vel jelölve)

\(\displaystyle \frac{LK}{a}=\frac{F'D'}{DF}=\frac{D'O}{OD}=\frac{m_a-OD}{OD}=\frac{m_a}{OD}-1= \frac{2t/a}{2t/(a+b+c)}-1= \frac{b+c}{a}, \)

ezért \(\displaystyle LK=a\cdot \dfrac{b+c}{a}=b+c\), \(\displaystyle F'D'=DF\cdot \dfrac{b+c}{a}=\left(\dfrac{a}{2}-\dfrac{a+c-b}{2}\right)\cdot \dfrac{b+c}{a}=\dfrac{b^2-c^2}{2a}\), így a \(\displaystyle D\) pontnak a \(\displaystyle KL\) szakasz Thalész-körére vonatkozó (előjeles) hatványa:

\(\displaystyle (DF'+F'K)\cdot (DF'-F'K)=DF'^2 - F'K^2 = (F'D'^2 + D'D^2)- F'K^2 = \)

\(\displaystyle =\left( \left( \dfrac{b^2-c^2}{2a}\right)^2+\left( \dfrac{2t}{a} \right)^2\right) - \left( \dfrac{b+c}{2}\right)^2 = \dfrac{(b^2-c^2)^2 + 16t^2}{4a^2} - \left( \dfrac{b+c}{2}\right)^2, \)

ami a háromszög területére ismert Heron-képlet szerint

\(\displaystyle \dfrac{-a^4 + 2a^2 (b^2+c^2)}{4a^2} - \left( \dfrac{b+c}{2}\right)^2 = -\dfrac{a^2 - (b-c)^2}{4}. \)

Ugyanakkor

\(\displaystyle -DB\cdot DC = -\dfrac{a+c-b}{2}\cdot \dfrac{a+b-c}{2} = -\dfrac{a^2 - (b-c)^2}{4}. \)

Tehát \(\displaystyle D\) a két kör hatványvonalán van, és a két körre vonatkozó hatványa negatív. A \(\displaystyle D\) pont tehát mindkét kör belsejébe esik, így a hatványvonalnak létezik a körök belsejébe eső darabja. Ebből következik, hogy a körök két pontban metszik egymást, és a metszéspontok által meghatározott egyenes a hatványvonal; a rajta levő két metszéspont és \(\displaystyle D\) ezért kollineárisak.

Statisztika:

20 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Beke Csongor, Daróczi Sándor, Dobák Dániel, Fitos Bence, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Jánosik Áron, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Pituk Gábor, Schrettner Jakab, Shuborno Das, Szabó 417 Dávid, Weisz Máté.
5 pontot kapott:	Póta Balázs.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2018. áprilisi matematika feladatai