Problem B. 4954. (April 2018)

B. 4954. Line \(\displaystyle \ell\) passes through vertex \(\displaystyle A\) of a triangle \(\displaystyle ABC\), and it is parallel to \(\displaystyle BC\). Let \(\displaystyle \ell\) intersect the interior angle bisectors of angles \(\displaystyle ABC\) and \(\displaystyle ACB\) at \(\displaystyle K\) and \(\displaystyle L\), respectively. The inscribed circle touches \(\displaystyle BC\) at point \(\displaystyle D\). Show that the circumscribed circle intersects the Thales circle of line segment \(\displaystyle KL\) at two points, and these two points are collinear with \(\displaystyle D\).

(6 pont)

Deadline expired on May 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle D\)-nek ugyanaz a körülírt körre és a \(\displaystyle KL\) szakasz Thalész-körére vonatkozó (előjeles) hatványa. Legyen \(\displaystyle BC\) felezőpontja \(\displaystyle F\), az \(\displaystyle LK\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle F'\), a beírt kör középpontja \(\displaystyle O\), az \(\displaystyle OD\) egyenes és \(\displaystyle \ell\) metszéspontja pedig \(\displaystyle D'\). Nyilván \(\displaystyle D'D\) a háromszög \(\displaystyle BC=a\) oldalához tartozó \(\displaystyle m_a\) magasságvonala. \(\displaystyle KBC\sphericalangle = BKL \sphericalangle\) váltószögek, ugyanígy \(\displaystyle LCB\sphericalangle = KLC \sphericalangle\) is; ezért az \(\displaystyle OBC\) és \(\displaystyle OKL\) háromszögek hasonlók; a hasonlóság aránya (az \(\displaystyle ABC\) háromszög területét \(\displaystyle t\)-vel jelölve)

\(\displaystyle \frac{LK}{a}=\frac{F'D'}{DF}=\frac{D'O}{OD}=\frac{m_a-OD}{OD}=\frac{m_a}{OD}-1= \frac{2t/a}{2t/(a+b+c)}-1= \frac{b+c}{a}, \)

ezért \(\displaystyle LK=a\cdot \dfrac{b+c}{a}=b+c\), \(\displaystyle F'D'=DF\cdot \dfrac{b+c}{a}=\left(\dfrac{a}{2}-\dfrac{a+c-b}{2}\right)\cdot \dfrac{b+c}{a}=\dfrac{b^2-c^2}{2a}\), így a \(\displaystyle D\) pontnak a \(\displaystyle KL\) szakasz Thalész-körére vonatkozó (előjeles) hatványa:

\(\displaystyle (DF'+F'K)\cdot (DF'-F'K)=DF'^2 - F'K^2 = (F'D'^2 + D'D^2)- F'K^2 = \)

\(\displaystyle =\left( \left( \dfrac{b^2-c^2}{2a}\right)^2+\left( \dfrac{2t}{a} \right)^2\right) - \left( \dfrac{b+c}{2}\right)^2 = \dfrac{(b^2-c^2)^2 + 16t^2}{4a^2} - \left( \dfrac{b+c}{2}\right)^2, \)

ami a háromszög területére ismert Heron-képlet szerint

\(\displaystyle \dfrac{-a^4 + 2a^2 (b^2+c^2)}{4a^2} - \left( \dfrac{b+c}{2}\right)^2 = -\dfrac{a^2 - (b-c)^2}{4}. \)

Ugyanakkor

\(\displaystyle -DB\cdot DC = -\dfrac{a+c-b}{2}\cdot \dfrac{a+b-c}{2} = -\dfrac{a^2 - (b-c)^2}{4}. \)

Tehát \(\displaystyle D\) a két kör hatványvonalán van, és a két körre vonatkozó hatványa negatív. A \(\displaystyle D\) pont tehát mindkét kör belsejébe esik, így a hatványvonalnak létezik a körök belsejébe eső darabja. Ebből következik, hogy a körök két pontban metszik egymást, és a metszéspontok által meghatározott egyenes a hatványvonal; a rajta levő két metszéspont és \(\displaystyle D\) ezért kollineárisak.

Statistics:

20 students sent a solution.
6 points:	Beke Csongor, Daróczi Sándor, Dobák Dániel, Fitos Bence, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Jánosik Áron, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Pituk Gábor, Schrettner Jakab, Shuborno Das, Szabó 417 Dávid, Weisz Máté.
5 points:	Póta Balázs.
3 points:	1 student.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2018