Problem B. 4959. (May 2018)

B. 4959. Barnaby has \(\displaystyle n\) marbles in his pocket. When he performs a somersault, each marble has a probability of \(\displaystyle 0<p<1\) to fall out of his pocket, independently of one another. If at least one marble falls out during a somersault then Barnaby will stop performing somersaults. Otherwise he will continue. Given that the probability of having an even number of marbles in his pocket when he stops doing somersaults is 50%, what may be the value of \(\displaystyle n\)?

(4 pont)

Deadline expired on June 11, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Annak valószínűsége, hogy egy bukfencezés során pontosan \(\displaystyle k\) üveggolyó esik ki Barnabás zsebéből \(\displaystyle \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\). Tudjuk, hogy az utolsó bukfencezés során \(\displaystyle 0<k\), vagyis \(\displaystyle k\in\{1,2,\dots,n\}\) volt. Annak valószínűsége, hogy egy bukfencezés során páratlan sok üveggolyó esik ki:

\(\displaystyle S_1:=\sum\limits_{2\nmid k, 1\leq k\leq n}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.\)

Annak valószínűsége pedig, hogy páros sok, és legalább kettő üveggolyó esik ki:

\(\displaystyle S_2:=\sum\limits_{2\mid k, 0<k\leq n}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.\)

Végül, annak valószínűsége, hogy egy bukfencezés során egyetlen üvegolyó sem esik ki: \(\displaystyle (1-p)^n\). Tudjuk, hogy az utolsó bukfencezésnél legalább egy üvegolyó esett ki, így annak valószínűsége, hogy ekkor páratlan, illetve páros sok üveggolyó esett ki rendre \(\displaystyle \frac{S_1}{1-(1-p)^n}\), illetve \(\displaystyle \frac{S_2}{1-(1-p)^n}\). A feltétel szerint ez a két érték megegyezik, hiszen a Barnabás zsebében maradt üveggolyók számának paritása pontosan akkor lesz egyforma (\(\displaystyle 50\%\)) eséllyel páros, illetve páratlan, ha a kiesett golyók számának paritása egyforma (\(\displaystyle 50\%\)) eséllyel páros, illetve páratlan. Tehát a kérdés az, mely \(\displaystyle n\) értékek mellett van olyan \(\displaystyle 0<p<1\), hogy \(\displaystyle S_1=S_2\). A binomiális tétel szerint

\(\displaystyle ((1-p)-p)^n=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}(1-p)^k\cdot(-1)^{n-k}\cdot p^{n-k}=(1-p)^n-S_1+S_2~\mathrm{vagy}~(1-p)^n+S_1-S_2.\)

Így \(\displaystyle S_1=S_2\) pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle (1-2p)^n=(1-p)^n\). Mivel \(\displaystyle 1-2p\ne 1-p\), ezért ez csak akkor teljesülhet, ha \(\displaystyle n\) páros és \(\displaystyle 1-2p=-(1-p)\), vagyis, ha \(\displaystyle p=2/3\).

Tehát \(\displaystyle n\) értéke bármely páros szám lehetett (és \(\displaystyle p=2/3\)), páratlan szám viszont nem.

Statistics:

41 students sent a solution.
4 points:	Argay Zsolt, Beke Csongor, Deák Bence, Dobák Dániel, Döbröntei Dávid Bence, Füredi Erik Benjámin, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Kószó Máté József, Kupás Vendel Péter, Nagy Nándor, Noszály Áron, Olosz Adél, Pituk Gábor, Schrettner Jakab, Shuborno Das, Soós 314 Máté, Szabó 417 Dávid, Szabó 864 Blanka, Szabó 997 Balázs István, Szőnyi Laura, Tiderenczl Dániel, Tóth 827 Balázs, Tóth Ábel, Weisz Máté.
3 points:	Sárvári Tibor.
2 points:	4 students.
1 point:	5 students.
0 point:	6 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2018