Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4961. (May 2018)

B. 4961. The intersection of three unit circles is bounded by the arcs \(\displaystyle \widehat{AB}\), \(\displaystyle \widehat{AC}\) and \(\displaystyle \widehat{BC}\). The perimeter of the intersection is \(\displaystyle K\). Calculate the perimeter of the intersection of the unit circles centred at \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) and \(\displaystyle C\).

(4 pont)

Deadline expired on June 11, 2018.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) középpontú, egységnyi sugarú körök metszetét az \(\displaystyle \widehat{A_1B_1}\), \(\displaystyle \widehat{A_1C_1}\) és \(\displaystyle \widehat{B_1C_1}\) körívek határolják, ahol \(\displaystyle A_1\) a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) középpontú egységkörök, \(\displaystyle B_1\) az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) középpontú egységkörök, \(\displaystyle C_1\) pedig az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) középpontú egységkörök egy-egy közös pontja. Az \(\displaystyle \widehat{AB}\), \(\displaystyle \widehat{AC}\) és \(\displaystyle \widehat{BC}\) körívek hosszának összege (a szögek ívmértékében) \(\displaystyle BC_1A\sphericalangle + AB_1C\sphericalangle + CA_1B\sphericalangle =k\). Hasonlóan az \(\displaystyle \widehat{A_1B_1}\), \(\displaystyle \widehat{A_1C_1}\) és \(\displaystyle \widehat{B_1C_1}\) körívek hosszának összege \(\displaystyle B_1CA_1\sphericalangle + A_1BC_1\sphericalangle + C_1AB_1\sphericalangle :=L\).

Az \(\displaystyle AB_1CA_1BC_1\) (egységnyi oldalú) hatszög szögeinek összege

\(\displaystyle 2\pi = AB_1C\sphericalangle + B_1CA_1\sphericalangle + CA_1B\sphericalangle + A_1BC_1\sphericalangle + BC_1A\sphericalangle + C_1AB_1\sphericalangle = k + L, \)

tehát \(\displaystyle L= 2\pi - k\) a kérdéses kerület.


Statistics:

37 students sent a solution.
4 points:Beke Csongor, Csaplár Viktor, Csiszár Zoltán, Daróczi Sándor, Dobák Dániel, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Richárd, Fülöp Anna Tácia, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Győrffy Ágoston, Győrffy Johanna, Hegedűs Dániel, Hervay Bence, Jánosik Áron, Kitschner Bernadett, Nagy Nándor, Nguyen Bich Diep, Olosz Adél, Osztényi József, Pituk Gábor, Scheidler Barnabás, Schrettner Jakab, Sebestyén Pál Botond, Soós 314 Máté, Stomfai Gergely, Szabó 417 Dávid, Tiderenczl Dániel, Tubak Dániel, Várkonyi Zsombor, Velich Nóra, Weisz Máté.
3 points:Győrffi Ádám György, Kocsis Anett.
2 points:2 students.
1 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2018