Problem B. 4964. (May 2018)

B. 4964. Is it true that if the functions \(\displaystyle f,g\colon \mathbb{R}\to[0,1]\) are periodic and the function \(\displaystyle f+g\) is also periodic then they have a period in common?

(6 pont)

Deadline expired on June 11, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Azt fogjuk igazolni, hogy nem igaz: elképzelhető, hogy teljesülnek a feltételek, de \(\displaystyle f\)-nek és \(\displaystyle g\)-nek nincs közös periódusa.

Ha \(\displaystyle f\)-nek és \(\displaystyle g\)-nek lenne olyan periódusa, melyek aránya racionális, akkor világos, hogy lenne közös periódusuk is. Így ellenpélda kereséséhez olyan \(\displaystyle f\)-re és \(\displaystyle g\)-re van szükségünk, melyek periódusának aránya irracionális. Olyan függvényeket fogunk mutatni, melyekre \(\displaystyle f\) legkisebb pozitív periódusa 1, \(\displaystyle g\) legkisebb pozitív periódusa \(\displaystyle \sqrt{2}\), valamint \(\displaystyle f+g\) legkisebb pozitív periódusa \(\displaystyle \sqrt{3}\).

Ha \(\displaystyle x\) nem írható fel \(\displaystyle x=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}\) alakban (\(\displaystyle a,b,c\) egészekkel), akkor legyen \(\displaystyle f(x)=g(x)=0\).

Ha \(\displaystyle x\) felírható \(\displaystyle x=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}\) alakban (\(\displaystyle a,b,c\) egészekkel), akkor legyen

\(\displaystyle f(x)=f(a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3})=\frac{1}{2}+\frac{1}{100}\cdot \frac{\text{sgn}(b)}{2^{|b|}}+\frac{1}{100}\cdot \frac{\text{sgn}(c)}{3^{|c|}},\)

illetve

\(\displaystyle g(x)=g(a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3})=\frac{1}{2}+\frac{1}{100}\cdot \frac{\text{sgn}(a)}{5^{|a|}}-\frac{1}{100}\cdot \frac{\text{sgn}(c)}{3^{|c|}},\)

ahol \(\displaystyle \text{sgn}(t)\) értéke 1, ha \(\displaystyle t\) pozitív, \(\displaystyle -1\), ha \(\displaystyle t\) negatív, illetve 0, ha \(\displaystyle t=0\).

Meg kell mutatnunk, hogy \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) jóldefiniáltak, ehhez elég belátnunk, hogy ha \(\displaystyle a,b,c,a',b',c'\) egész számokra

akkor \(\displaystyle a=a',b=b',c=c'\). Az (1) egyenletet átrendezve és négyzetre emelve:

Ha \(\displaystyle (b'-b)(c'-c)\ne0\) lenne, akkor (3) ellentmondana \(\displaystyle \sqrt{6}\) irracionalitásának. Tehát \(\displaystyle b'=b\) vagy \(\displaystyle c'=c\). Ha ezek közül csak az egyik teljesülne, akkor (2) ellentmondana \(\displaystyle \sqrt{2}\) vagy \(\displaystyle \sqrt{3}\) irracionalitásának. Így \(\displaystyle b'=b\) és \(\displaystyle c'=c\) is teljesül, ekkor viszont (1) miatt \(\displaystyle a=a'\) is fennáll. Ezzel igazoltuk, hogy \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) jóldefiniáltak.

Most ellenőrizzük, hogy \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) értékkészlete része \(\displaystyle [0,1]\)-nek. Ha \(\displaystyle x\) nem áll elő \(\displaystyle a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}\) alakban, akkor \(\displaystyle f(x)=g(x)=0\). Ha pedig \(\displaystyle x=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}\) alakú, akkor

\(\displaystyle 0<\frac{1}{2}-\frac{1}{100}\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{100}\cdot\frac{1}{3}\leq f(x)\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{100}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{100}\cdot\frac{1}{3}<1\)

és

\(\displaystyle 0<\frac{1}{2}-\frac{1}{100}\cdot\frac{1}{5}-\frac{1}{100}\cdot\frac{1}{3}\leq g(x)\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{100}\cdot\frac{1}{5}+\frac{1}{100}\cdot\frac{1}{3}<1.\)

Tehát \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) értékkészlete valóban része \(\displaystyle [0,1]\)-nek.

Most meghatározzuk, hogy mik \(\displaystyle f\) periódusai. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle f(x)=f(x+p)\) teljesül minden \(\displaystyle x\) valós számra. Speciálisan, \(\displaystyle f(0)=f(p)\). Mivel \(\displaystyle f(0)=\frac{1}{2}\ne0\), ezért \(\displaystyle p\) előáll \(\displaystyle p=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}\) alakban (ahol \(\displaystyle a,b,c\) egészek). Ekkor \(\displaystyle f\) definíciója szerint \(\displaystyle f(p)=\frac{1}{2}+\frac{1}{100}\cdot \frac{\text{sgn}(b)}{2^{|b|}}+\frac{1}{100}\cdot \frac{\text{sgn}(c)}{3^{|c|}}\). Tehát \(\displaystyle f(0)=f(p)\) pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{100}\cdot \frac{\text{sgn}(b)}{2^{|b|}}+\frac{1}{100}\cdot \frac{\text{sgn}(c)}{3^{|c|}}=\frac{1}{2}\), vagyis, ha \(\displaystyle \text{sgn}(b)3^{|c|}=-\text{sgn}(c)2^{|b|}\). Azonban \(\displaystyle 3^{|c|}=\pm 2^{|b|}\) csak \(\displaystyle b=c=0\) esetén teljesül, hiszen csak az 1 szerepel a 2 és a 3 egész kitevős hatványai között is. Tehát \(\displaystyle p=a\) egész szám. Most megmutatjuk, hogy \(\displaystyle p=1\) periódusa \(\displaystyle f\)-nek, ebből már következik, hogy \(\displaystyle f\) periódusai éppen az egész számok.

Ha \(\displaystyle x\) nem áll elő \(\displaystyle x=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}\) alakban, akkor \(\displaystyle x+1\) sem, így \(\displaystyle f(x)=f(x+1)=0\). Ha \(\displaystyle x=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}\) alakú, akkor \(\displaystyle x+1\) is: \(\displaystyle x+1=(a+1)+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}\) és \(\displaystyle f(x)=f(x+1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{100}\cdot \frac{\text{sgn}(b)}{2^{|b|}}+\frac{1}{100}\cdot \frac{\text{sgn}(c)}{3^{|c|}}\). Tehát \(\displaystyle f\) valóban periodikus és 1 a legkisebb pozitív periódusa.

Ehhez hasonlóan határozhatjuk meg \(\displaystyle g\) periódusait is. Ha \(\displaystyle g(x)=g(x+p)\) teljesül minden \(\displaystyle x\) valós számra, akkor \(\displaystyle \frac{1}{2}=g(0)=g(p)\) miatt \(\displaystyle p=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}\) (ahol \(\displaystyle a,b,c\) egészek), és \(\displaystyle g(p)=\frac{1}{2}+\frac{1}{100}\cdot \frac{\text{sgn}(a)}{5^{|a|}}-\frac{1}{100}\cdot \frac{\text{sgn}(c)}{3^{|c|}}\). Tehát \(\displaystyle g(0)=g(p)\) pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle \text{sgn}(a)3^{|c|}=\text{sgn}(c)5^{|a|}\). Azonban \(\displaystyle 3^{|c|}=\pm 5^{|a|}\) csak \(\displaystyle a=c=0\) esetén teljesül. Tehát \(\displaystyle p=b\sqrt{2}\), ahol \(\displaystyle b\) egész szám. Most megmutatjuk, hogy \(\displaystyle p=\sqrt{2}\) periódusa \(\displaystyle g\)-nek, ebből már következik, hogy \(\displaystyle g\) periódusai éppen a \(\displaystyle b\sqrt{2}\) alakú számok.

Ha \(\displaystyle x\) nem áll elő \(\displaystyle x=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}\) alakban, akkor \(\displaystyle x+\sqrt{2}\) sem, így \(\displaystyle g(x)=g(x+\sqrt{2})=0\). Ha \(\displaystyle x=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}\) alakú, akkor \(\displaystyle x+\sqrt{2}\) is: \(\displaystyle x+\sqrt{2}=a+(b+1)\sqrt{2}+c\sqrt{3}\) és \(\displaystyle g(x)=g(x+\sqrt{2})=\frac{1}{2}+\frac{1}{100}\cdot \frac{\text{sgn}(a)}{5^{|a|}}-\frac{1}{100}\cdot \frac{\text{sgn}(c)}{3^{|c|}}\). Tehát \(\displaystyle g\) valóban periodikus és \(\displaystyle \sqrt{2}\) a legkisebb pozitív periódusa.

Az eddigekből az is következik, hogy \(\displaystyle f\)-nek és \(\displaystyle g\)-nek nincs közös periódusa, hiszen \(\displaystyle \sqrt{2}\) irracionális.

Végül belátjuk, hogy \(\displaystyle f+g\) periodikus \(\displaystyle \sqrt{3}\) periódussal. Ha \(\displaystyle x\) nem áll elő \(\displaystyle x=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}\) alakban, akkor \(\displaystyle x+\sqrt{3}\) sem, így \(\displaystyle (f+g)(x)=(f+g)(x+\sqrt{3})=0\). Ha \(\displaystyle x=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}\) alakú, akkor \(\displaystyle x+\sqrt{3}\) is: \(\displaystyle x+\sqrt{3}=a+b\sqrt{2}+(c+1)\sqrt{3}\) és \(\displaystyle (f+g)(x)=(f+g)(x+\sqrt{3})=1+\frac{1}{100}\cdot \frac{\text{sgn}(b)}{2^{|b|}}+\frac{1}{100}\cdot \frac{\text{sgn}(a)}{5^{|a|}}\). Tehát \(\displaystyle g\) valóban periodikus \(\displaystyle \sqrt{3}\) periódussal. (A korábbiakhoz hasonlóan az is igazolható, hogy éppen a \(\displaystyle c\sqrt{3}\) alakú számok periódusai \(\displaystyle f+g\)-nek.)

Ezzel igazoltuk, hogy a feladat kérdésére a válasz nemleges: mutattunk példát olyan \(\displaystyle f\)-re és \(\displaystyle g\)-re, melyeknek nincs közös periódusa, de kielégítik a feltételeket.

Statistics:

23 students sent a solution.
6 points:	Dobák Dániel, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Kerekes Anna, Nagy Nándor, Pituk Gábor, Schifferer András, Schrettner Jakab, Weisz Máté.
5 points:	Daróczi Sándor.
4 points:	2 students.
1 point:	4 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2018