A B. 4966. feladat (2018. szeptember)

B. 4966. Határozzuk meg a 19. legkisebb olyan pozitív egész számot, amelyben a számjegyek összege 2018.

(3 pont)

A beküldési határidő 2018. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha a számjegyek összege 2018, akkor a számjegyek száma legalább \(\displaystyle 2018/9\), vagyis legalább 225. Meg fogjuk határozni, hogy ezek közül melyik a 19-edik legkisebb olyan, amiben a számjegyek összege 2018, ez egyben a feladat kérdését is megválaszolja, hiszen az ennél több (legalább 226) jegyből álló számok mind nagyobbak ezeknél.

Mivel \(\displaystyle 2018=9\cdot 224+2\), ezért a szám első jegye legalább 2-es. Ha az első jegy 2, akkor az összes többi 9-es, így kapjuk a legkisebb megfelelő számjegyösszegű számot, a \(\displaystyle 299\dots 9\)-et. A soron következő legkisebb számok első jegye 3-as, ha ezek közül legalább 18-ban 2018 a számjegyösszeg, akkor közöttük lesz a(z összességében) 19-edik legkisebb. Ha az első jegy 3-as, akkor a megfelelő számjegyösszeg eléréséhez a többi jegy között 223 darab 9-es és 1 darab 8-as kell, hogy szerepeljen, vagyis összesen 224 ilyen szám van (a 8-as helyét választhatjuk meg). Annál kisebb számot kapunk, minél nagyobb helyiértékű helyre (vagyis minél inkább balra) kerül a 8-as. A (\(\displaystyle 29\dots9\)-et is számolva) 2. legkisebb tehát a \(\displaystyle 389\dots 9\), a 3. legkisebb a \(\displaystyle 3989\dots9\), és így tovább, a 19. legkisebb a \(\displaystyle 39999999999999999989\dots 9\) (ahol a 8-astól balra 17 darab, a 8-astól jobbra 206 darab 9-es van).

Statisztika:

284 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	186 versenyző.
2 pontot kapott:	38 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	46 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	8 dolgozat.

A KöMaL 2018. szeptemberi matematika feladatai