Problem B. 4966. (September 2018)

B. 4966. Find the nineteenth positive integer in which the sum of the digits is 2018.

(3 pont)

Deadline expired on October 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a számjegyek összege 2018, akkor a számjegyek száma legalább \(\displaystyle 2018/9\), vagyis legalább 225. Meg fogjuk határozni, hogy ezek közül melyik a 19-edik legkisebb olyan, amiben a számjegyek összege 2018, ez egyben a feladat kérdését is megválaszolja, hiszen az ennél több (legalább 226) jegyből álló számok mind nagyobbak ezeknél.

Mivel \(\displaystyle 2018=9\cdot 224+2\), ezért a szám első jegye legalább 2-es. Ha az első jegy 2, akkor az összes többi 9-es, így kapjuk a legkisebb megfelelő számjegyösszegű számot, a \(\displaystyle 299\dots 9\)-et. A soron következő legkisebb számok első jegye 3-as, ha ezek közül legalább 18-ban 2018 a számjegyösszeg, akkor közöttük lesz a(z összességében) 19-edik legkisebb. Ha az első jegy 3-as, akkor a megfelelő számjegyösszeg eléréséhez a többi jegy között 223 darab 9-es és 1 darab 8-as kell, hogy szerepeljen, vagyis összesen 224 ilyen szám van (a 8-as helyét választhatjuk meg). Annál kisebb számot kapunk, minél nagyobb helyiértékű helyre (vagyis minél inkább balra) kerül a 8-as. A (\(\displaystyle 29\dots9\)-et is számolva) 2. legkisebb tehát a \(\displaystyle 389\dots 9\), a 3. legkisebb a \(\displaystyle 3989\dots9\), és így tovább, a 19. legkisebb a \(\displaystyle 39999999999999999989\dots 9\) (ahol a 8-astól balra 17 darab, a 8-astól jobbra 206 darab 9-es van).

Statistics:

284 students sent a solution.
3 points:	186 students.
2 points:	38 students.
1 point:	6 students.
0 point:	46 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	8 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2018