Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4967. feladat (2018. szeptember)

B. 4967. Az \(\displaystyle ABC\triangle\) belső pontja \(\displaystyle P\), az \(\displaystyle AB\) oldal felezőpontja \(\displaystyle C_1\), a \(\displaystyle BC\) oldalé \(\displaystyle A_1\), a \(\displaystyle CA\) oldalé \(\displaystyle B_1\). Húzzunk párhuzamosokat rendre az \(\displaystyle AP\), \(\displaystyle BP\) és \(\displaystyle CP\) egyenesekkel az \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), illetve \(\displaystyle C_1\) pontokon keresztül. Mutassuk meg, hogy ez a három egyenes egy pontban metszi egymást.

Javasolta: Kozma József (Szeged)

(3 pont)

A beküldési határidő 2018. október 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen az \(\displaystyle ABC\triangle\) súlypontja \(\displaystyle S\). Az \(\displaystyle S\) középpontú, \(\displaystyle \lambda=-1/2\) arányú középpontos hasonlóság az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontokat rendre az \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle B_1\), ill. \(\displaystyle C_1\) pontokba képezi a súlypont ismert tulajdonsága miatt. Legyen továbbá a \(\displaystyle P\) pont képe \(\displaystyle P'\). Így az \(\displaystyle AP\), \(\displaystyle BP\) és \(\displaystyle CP\) egyenesek képei rendre \(\displaystyle A_1P'\), \(\displaystyle B_1P'\) és \(\displaystyle C_1P'\); és így a középpontos hasonlóság ismert tulajdonsága miatt \(\displaystyle AP\parallel A_1P'\), \(\displaystyle BP\parallel B_1P'\), ill. \(\displaystyle CP\parallel C_1P'\). Kaptuk, hogy az \(\displaystyle A_1\)-re illeszkedő, \(\displaystyle AP\)-vel párhuzamos egyenes éppen \(\displaystyle A_1P'\), a \(\displaystyle B_1\)-re illeszkedő, \(\displaystyle BP\)-vel párhuzamos egyenes éppen \(\displaystyle B_1P'\) és a \(\displaystyle C_1\)-re illeszkedő, \(\displaystyle CP\)-vel párhuzamos egyenes éppen \(\displaystyle C_1P'\). Vagyis a szóban forgó egyenesek mindegyike illeszkedik a \(\displaystyle P'\) pontra, amivel a feladat állítását beláttuk.


Statisztika:

130 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:109 versenyző.
2 pontot kapott:10 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:4 dolgozat.

A KöMaL 2018. szeptemberi matematika feladatai