 |
A B. 4968. feladat (2018. szeptember) |
B. 4968. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a pozitív valós számok halmazán:
$$\begin{align*} \frac{1}{1+a + ab + abc} + \frac{1}{1+b + bc + bcd} + \frac{1}{1+c + cd + cda} + \frac{1}{1+d + da + dab} & = 1,\\ a+b+c+d & = 4. \end{align*}$$(4 pont)
A beküldési határidő 2018. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség szerint \(\displaystyle abcd\leq \left(\frac{a+b+c+d}{4}\right)^4=1\). Ezt felhasználva:
| \(\displaystyle \frac{1}{1+b+bc+bcd}=\frac{a}{a+ab+abc+abcd}\geq \frac{a}{a+ab+abc+1}, \) | \(\displaystyle {(1)} \) |
| \(\displaystyle \frac{1}{1+c+cd+cda}=\frac{ab}{ab+abc+abcd+abcda}\geq \frac{ab}{ab+abc+1+a}, \) | \(\displaystyle {(2)} \) |
| \(\displaystyle \frac{1}{1+d+da+dab}=\frac{abc}{abc+abcd+abcda+abcdab}\geq \frac{abc}{abc+1+a+ab}. \) | \(\displaystyle {(3)} \) |
Az \(\displaystyle (1),(2),(3)\) egyenlőtlenségek összegéhez hozzáadva \(\displaystyle \frac{1}{1+a+ab+abc}\)-t, azt kapjuk, hogy
\(\displaystyle \frac{1}{1+a+ab+abc}+\frac{1}{1+b+bc+bcd}+\frac{1}{1+c+cd+cda}+\frac{1}{1+d+da+dab}\geq 1\)
mindig teljesül. Mivel a feltétel szerint itt egyenlőségnek kell teljesülnie, ezért az \(\displaystyle (1),(2),(3)\) egyenlőtlenségeknek is egyenlőséggel kell teljesülnie, vagyis \(\displaystyle abcd=1\). A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség viszont pontosan akkor teljesül egyenlőséggel, ha a számok egyenlők, vagyis, ha \(\displaystyle a=b=c=d=1\).
Tehát az egyenletrendszernek egyetlen megoldása van: \(\displaystyle a=b=c=d=1\).
Statisztika:
A KöMaL 2018. szeptemberi matematika feladatai