Problem B. 4972. (September 2018)

B. 4972. Let \(\displaystyle P\) be an interior point of an acute-angled triangle \(\displaystyle ABC\). Let \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) and \(\displaystyle F\) be the orthogonal projections of \(\displaystyle P\) onto the sides, as shown in the figure. Outside the triangle, a square is drawn over each of the six line segments formed on the sides. The squares are then alternatively coloured by two colours according to the figure. Consider the two triangles formed by the lines of the ``outer'' sides of the squares with the same colour. Show that these two triangles are congruent.

(6 pont)

Deadline expired on October 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit.

Először belátunk két segédállítást.

1. Segédállítás: \(\displaystyle BD^2+CE^2+AF^2=BF^2+AE^2+CD^2\), azaz a piros és kék négyzetek területei egyenlőek.

Bizonyítás. Felírhatjuk a Pitagorasz-tételt a \(\displaystyle BDP\), \(\displaystyle DCP\), \(\displaystyle CEP\), \(\displaystyle EAP\), \(\displaystyle AFP\) és \(\displaystyle FBP\) háromszögek mindegyikére. Ebből

\(\displaystyle BD^2+CE^2+AF^2=PB^2-PD^2+PC^2-PE^2+PA^2-PF^2=PB^2-PF^2+PC^2-PD^2+PA^2-PE^2=BF^2+AE^2+CD^2.\)

Ezzel az 1. segédállítást beláttuk.

2. Segédállítás: Létezik egy középpontos hasonlóság, amely az \(\displaystyle ABC\) háromszöget az \(\displaystyle A_1B_1C_1\) háromszögbe képezi.

Bizonyítás. Világos, hogy \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle A_1B_1C_1\) oldalai páronként párhuzamosak, ezért szögeik páronként megegyeznek, így a két háromszög hasonló. Jelölje a hasonlóságuk arányát \(\displaystyle \lambda_1\). Legyen \(\displaystyle O_1\) az a pont, amelyre igaz, hogy az \(\displaystyle O_1\) középpontú, \(\displaystyle \lambda_1\) arányú hasonlóság az \(\displaystyle A\) pontot \(\displaystyle A_1\)-be képezi. A középpontos hasonlóság tulajdonságai miatt \(\displaystyle AB\) képe egy vele párhuzamos, \(\displaystyle \lambda_1\cdot AB\) hosszúságú szakasz lesz, amely így szükségképpen éppen \(\displaystyle A_1B_1\), azaz \(\displaystyle B\) képe \(\displaystyle B_1\). Ugyanígy \(\displaystyle C\) képe \(\displaystyle C_1\), és ezzel a 2. segédállítást is beláttuk.

Jelölje az \(\displaystyle O_1\) pont távolságát az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) oldalaitól rendre \(\displaystyle \hat a\), \(\displaystyle \hat b\) és \(\displaystyle \hat c\). A piros négyzetek oldalaira vezessük be az \(\displaystyle a_l=BD\), \(\displaystyle b_l=CE\) és \(\displaystyle c_l=AF\) jelöléseket. Világos, hogy ekkor az \(\displaystyle O_1\) pont távolsága az \(\displaystyle A_1B_1C_1\) háromszög oldalaitól rendre \(\displaystyle \hat a+a_l\), \(\displaystyle \hat b+b_l\) és \(\displaystyle \hat c+c_l\). A középpontos hasonlóság miatt \(\displaystyle \hat a\colon \hat b \colon \hat c= (\hat a+a_l)\colon (\hat b+b_l) \colon (\hat c +c_l)\), amiből viszont azonnal következik, hogy

\(\displaystyle \frac{a_l}{\hat a}=\frac{b_l}{\hat b}=\frac{c_l}{\hat c}=\lambda_1-1. \tag{1}\)

Most vegyük észre, hogy az \(\displaystyle ABO_1\), \(\displaystyle BCO_1\) és \(\displaystyle CAO_1\) háromszögek területeinek összege éppen az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle T\) területével egyenlő, ebből

\(\displaystyle a\hat a+b\hat b+c \hat c=2T \tag{2}.\)

Továbbá, az 1. segédállítás szerint \(\displaystyle a_l^2+b_l^2+c_l^2=(a-a_l)^2+(b-b_l)^2+(c-c_l)^2\), amiből a négyzetreemelések elvégzése és rendezés után

\(\displaystyle aa_l+bb_l+cc_l=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}.\)

Ebbe visszahelyettesítve (1)-et kapjuk, hogy

\(\displaystyle (\lambda_1-1)(a\hat a+b\hat b+c \hat c)=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}.\tag{3}\)

A (2) és (3) összefüggéseket összevetve az \(\displaystyle A_1B_1C_1\) és \(\displaystyle ABC\) \(\displaystyle \lambda_1\) hasonlósági arányára

\(\displaystyle \lambda_1=\frac{a^2+b^2+c^2}{4T}+1.\)

Vegyük észre, hogy \(\displaystyle \lambda_1\) független \(\displaystyle P\) választásától. Hasonlóan kiszámolhatjuk a kék \(\displaystyle A_2B_2C_2\) és \(\displaystyle ABC\) háromszögek \(\displaystyle \lambda_2\) hasonlósági arányát is, és a \(\displaystyle \lambda_1=\lambda_2\) egyenlőség igazolja az állítást.

Statistics:

46 students sent a solution.
6 points:	Beke Csongor, Biczó Benedek, Bognár 171 András Károly, Bokor Endre, Bukva Dávid, Csaplár Viktor, Csiszár Zoltán, Dávid Levente, Deák Bence, Geretovszky Anna, Győrffy Ágoston, Hegedűs Dániel, Hoffmann Balázs, Jedlovszky Pál, Kerekes Anna, Kerekes Boldizsár, Kocsis Anett, Markó Gábor, Márton Dénes, Nagy Nándor, Rareș Polenciuc, Soós 314 Máté, Szabó 417 Dávid, Szabó 991 Kornél, Tiderenczl Dániel, Tóth 827 Balázs, Tóth Ábel, Tubak Dániel, Várkonyi Zsombor, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
5 points:	Gyetvai Miklós, Hervay Bence, Stomfai Gergely.
4 points:	1 student.
3 points:	1 student.
2 points:	1 student.
1 point:	6 students.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2018