Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4975. feladat (2018. október)

B. 4975. Adott négy, páronként különböző egyenes: \(\displaystyle e\parallel f\) és \(\displaystyle g\parallel h\), valamint egy \(\displaystyle P\) pont. Szerkesszünk olyan \(\displaystyle P\)-re illeszkedő egyenest, amely az \(\displaystyle e\), \(\displaystyle f\), \(\displaystyle g\) és \(\displaystyle h\) egyeneseket rendre olyan \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle H\) pontokban metszi, amelyekre \(\displaystyle EF=GH\).

(3 pont)

A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.


Megoldás. Előrebocsájtunk egy hasznos észrevételt: tegyük fel, hogy \(\displaystyle \ell\) olyan egyenes, amely az \(\displaystyle e\), \(\displaystyle f\), \(\displaystyle g\) és \(\displaystyle h\) egyeneseket rendre olyan \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\) és \(\displaystyle H\) pontokban metszi, amelyekre \(\displaystyle EF\)=\(\displaystyle GH\); továbbá legyen \(\displaystyle \ell' \parallel \ell\) tetszőleges egyenes, amely az \(\displaystyle e\), \(\displaystyle f\), \(\displaystyle g\) és \(\displaystyle h\) egyeneseket rendre az \(\displaystyle E'\), \(\displaystyle F'\), \(\displaystyle G'\) és \(\displaystyle H'\) pontokban metszi. Mivel szemközti oldalai párhuzamosak, így \(\displaystyle EFF'E'\) paralelogramma, s hasonlóképp a \(\displaystyle GHH'G'\) négyszög is. Ebből \(\displaystyle E'F'=EF=GH=G'H'\), vagyis \(\displaystyle \ell'\) az \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\), valamint \(\displaystyle g\) és \(\displaystyle h\) által határolt sávokat egyforma hosszú szakaszokban metszi (csakúgy, mint \(\displaystyle \ell\)).

Tegyük fel, hogy \(\displaystyle f\) nem párhuzamos \(\displaystyle g\)-vel. Ekkor az \(\displaystyle e\), \(\displaystyle f\), \(\displaystyle g\) és \(\displaystyle h\) egyenesek egy nem elfajuló paralelogrammát határoznak meg, ennek csúcsait jelölje \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) az ábra szerint. Legyen \(\displaystyle \ell\) egy megoldása a feladatnak, amely így nem lehet párhuzamos \(\displaystyle e\), \(\displaystyle f\), \(\displaystyle g\) és \(\displaystyle h\) egyikével sem. Húzzunk \(\displaystyle \ell'\) párhuzamost \(\displaystyle A\)-n keresztül \(\displaystyle \ell\)-el, ez messe az \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle g\) egyeneseket az \(\displaystyle E'\) és \(\displaystyle G'\) pontokban. Az észrevételünk miatt \(\displaystyle AE'=AG'\) teljesül, így két eset lehetséges: vagy \(\displaystyle E'=G'\), vagy \(\displaystyle A\) az \(\displaystyle E'G'\) szakasz felezőpontja. Ha \(\displaystyle E'=G'\), akkor \(\displaystyle E'\in e\) és \(\displaystyle G'\in g\) miatt \(\displaystyle E'=G'=C=e\cap g\), és \(\displaystyle \ell'=AC\). Ha \(\displaystyle A\) az \(\displaystyle E'G'\) felezőpontja, akkor \(\displaystyle E'G'C\) háromszögben \(\displaystyle AB\) középvonal, mert \(\displaystyle A\) oldalfelezőpont, és \(\displaystyle AB\parallel CE'\), így \(\displaystyle B\) is felezi \(\displaystyle G'C\)-t. Hasonlóan \(\displaystyle D\) is felezi \(\displaystyle E'C\)-t, s így \(\displaystyle BD\) átló is középvonal, ezért \(\displaystyle BD\parallel E'G'=\ell'\parallel \ell\). Mindkét esetben azt kaptuk, hogy \(\displaystyle \ell\) párhuzamos \(\displaystyle ABCD\) valamelyik átlójával.

A fentiek alapján a szerkesztés menete: szerkesszünk \(\displaystyle P\)-n keresztül párhuzamost az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlókkal. Ezek adják a keresett egyeneseket.

A szerkesztés helyességének igazolása: első észrevételünkből azonnal adódik, hogy a szerkesztett egyenesek megoldásai a feladatnak, továbbá a szerkesztés menete előtt leírtakból következik, hogy más megoldás nincs.

Diszkusszió: Ha \(\displaystyle f\) nem párhuzamos \(\displaystyle g\)-vel, akkor a fenti eljárás mindig két különböző megoldást ad, ezért ekkor pontosan kettő megoldás van.

Ha \(\displaystyle f\parallel g\) és a megfelelő egyenespárok távolsága egyenlő, azaz \(\displaystyle d(e,f)=d(h,g)\), akkor nyilvánvalóan minden \(\displaystyle P\)-re illeszkedő egyenes megoldás, kivéve azt, amely párhuzamos \(\displaystyle e\)-vel. Ha \(\displaystyle f\parallel g\), de \(\displaystyle d(e,f)\neq d(h,g)\), akkor a feladatnak nincs megoldása.


Statisztika:

A B. 4975. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2018. októberi matematika feladatai