Problem B. 4976. (October 2018)

B. 4976. Let \(\displaystyle A=\{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4\}\). First and Second take turns in selecting a number (not selected before) out of the elements of set \(\displaystyle A\). The player first collecting three numbers that add up to zero wins the game. Is there a player who has a winning strategy?

Proposed by Á. Bán-Szabó, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on November 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először megvizsgáljuk, melyek a három tagú, 0-t adó összegek. Ha szerepel a tagok között a 0, akkor a hármas \(\displaystyle \{0,a,-a\}\) alakú, ahol \(\displaystyle a\in \{1,2,3,4\}\). Ha a számok között nem szerepel a 0, akkor közülük kettőnek, mondjuk \(\displaystyle a\)-nak és \(\displaystyle b\)-nek egyezik az előjele, a harmadik számnak, \(\displaystyle c\)-nek az előjele pedig ettől különböző, továbbá \(\displaystyle |a|+|b|=|c|\). Mivel \(\displaystyle |a|\) és \(\displaystyle |b|\) két olyan különböző eleme az \(\displaystyle \{1,2,3,4\}\) halmaznak, melyek összege legfeljebb 4, ezért vagy \(\displaystyle \{|a|,|b|\}=\{1,2\}\), vagy \(\displaystyle \{|a|,|b|\}=\{1,3\}\). Az így kapott hármasok:

\(\displaystyle \{1,2,-3\},\{-1,-2,3\},\{1,3,-4\},\{-1,-3,4\}.\)

Tehát összesen \(\displaystyle 4+4=8\) megfelelő számhármas van. Ha \(\displaystyle A\) elemeit az alábbi módon írjuk egy \(\displaystyle 3\times 3\)-as táblázatba, akkor a 0-t adó három tagú összegeket adó hármasok éppen a 3 sor, a 3 oszlop és a 2 átló.

Tehát Kezdő és Második a tic-tac-toe játékkal ekvivalens játékot játszanak. A tic-tac-toe esetében pedig mindkét játékosnak van olyan stratégiája, amivel garantálni tudja, hogy ne veszítsen. Ennek igazolása esetszétválasztással történhet, egy leírás például itt olvasható.

Tehát egyik játékosnak sincs nyerő stratégiája.

Statistics:

109 students sent a solution.
4 points:	Argay Zsolt, Baski Bence, Beke Csongor, Bencsik Ádám, Bognár 171 András Károly, Bukva Dávid, Bursics András, Csiszár Zoltán, Csizmadia Miklós, Dezső Kende Barnabás, Dobák Dániel, Farkas 512 Izabella, Fleiner Zsigmond, Fraknói Ádám, Győrffy Johanna, Hámori Janka, Hegedűs Dániel, Hoffmann Balázs, Horváth 721 Balázs, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Kerekes Anna, Kerekes Boldizsár, Kolozsvári Bence, Kun Ágoston , Lazur Zsófia, Lovas Márton, Markó Gábor, Mátravölgyi Bence, Nagy 551 Levente, Nagy Nándor, Nguyễn Minh Khang, Nyárfádi Patrik, Rareș Polenciuc, Réti Zoltán, Seláf Bence, Stomfai Gergely, Szabó 417 Dávid, Szűcs 064 Tamás, Telek Dániel, Telek Zsigmond , Terjék András József, Tiderenczl Dániel, Tot Bagi Márton, Török Ágoston, Várkonyi Zsombor, Velich Nóra, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
3 points:	15 students.
2 points:	14 students.
1 point:	15 students.
0 point:	12 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2018