Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4978. feladat (2018. október)

B. 4978. Legyen \(\displaystyle n\ge 3\) egész szám és \(\displaystyle \alpha\) tetszőleges valós szám. Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \cos^2 \left(\alpha+\frac{2k\pi}{n}\right) = \frac n2. \)

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.


Megoldás. Felhasználva a \(\displaystyle \cos^2 x= \frac{1+\cos{2x}}{2}\) azonosságot, a bizonyítandó állítás

\(\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1+\cos \left(2\alpha+\frac{4k\pi}{n}\right)}{2}=\frac{n}{2}\)

alakban is írható, vagyis elegendő megmutatnunk, hogy

\(\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n-1}\cos \left(2\alpha+\frac{4k\pi}{n}\right)=0.\)

Legyen \(\displaystyle v_k\) (ahol \(\displaystyle 0\leq k \leq n-1\)) az a vektor, amit az \(\displaystyle (1,0)\) vektor origó körüli \(\displaystyle 2\alpha+\frac{4\pi}{n}\) szögű elforgatásával kapunk. Ha \(\displaystyle 0\leq k\leq n-2\), akkor a \(\displaystyle v_k\) vektort az origó körül \(\displaystyle \frac{4\pi}{n}\) szöggel elforgatva éppen a \(\displaystyle v_{k+1}\) vektort kapjuk. Ugyanennél az elforgatásnál \(\displaystyle v_{n-1}\) képe pedig \(\displaystyle v_0\), ugyanis \(\displaystyle 2\alpha+4\pi\) és \(\displaystyle 2\alpha\) szögek eltérése \(\displaystyle 2\pi\)-nek egész számú többszöröse. Mindezek alapján a \(\displaystyle v=v_0+v_1+\dots+v_{n-1}\) vektor origó körüli \(\displaystyle \frac{4\pi}{n}\) szögű elforgatottja éppen saját maga, hiszen az elforgatásnál \(\displaystyle v_0,v_1,\dots,v_{n-1}\) ciklikusan egymásba mennek át:

\(\displaystyle v_0\to v_1\to v_2\to \dots\to v_{n-1}\to v_0.\)

Mivel \(\displaystyle 0<\frac{4\pi}{n}<2\pi\) (vagyis az elforgatás különbözik az identitástól), ez csak úgy lehetséges, ha \(\displaystyle v=0\). Azonban ez azt jelenti, hogy a \(\displaystyle v_k\) vektorok \(\displaystyle x\) koordinátáinak összege is 0, ez pedig éppen a bizonyítandó

\(\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n-1}\cos \left(2\alpha+\frac{4k\pi}{n}\right)=0\)

állítást adja. Ezzel a feladat állítását is igazoltuk.

Megjegyzés. Meggondolható, hogy a \(\displaystyle v_0,v_1,\dots,v_{n-1}\) vektorok egy origó középpontú szabályos \(\displaystyle n\)-szög csúcsaiba mutatnak, ha \(\displaystyle n\) páratlan, amiből szintén következik, hogy összegük a nullvektor. Ha pedig \(\displaystyle n\) páros, akkor a vektorok egy origó középpontú szabályos \(\displaystyle n/2\)-szög csúcsaiba mutatnak úgy, hogy minden csúcsba a vektorok közül pontosan kettő mutat. (Itt \(\displaystyle n=4\) esetén még nem jön létre igazi szabályos sokszög: a kétféle vektor ekkor egymás ellentettje lesz.) Ebből szintén következik, hogy a vektorok összege a nullvektor.


Statisztika:

A B. 4978. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2018. októberi matematika feladatai