Problem B. 4978. (October 2018)

B. 4978. Let \(\displaystyle n\ge 3\) be an integer and let \(\displaystyle \alpha\) denote an arbitrary real number. Prove that

\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \cos^2 \left(\alpha+\frac{2k\pi}{n}\right) = \frac n2. \)

(5 pont)

Deadline expired on November 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Felhasználva a \(\displaystyle \cos^2 x= \frac{1+\cos{2x}}{2}\) azonosságot, a bizonyítandó állítás

\(\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1+\cos \left(2\alpha+\frac{4k\pi}{n}\right)}{2}=\frac{n}{2}\)

alakban is írható, vagyis elegendő megmutatnunk, hogy

\(\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n-1}\cos \left(2\alpha+\frac{4k\pi}{n}\right)=0.\)

Legyen \(\displaystyle v_k\) (ahol \(\displaystyle 0\leq k \leq n-1\)) az a vektor, amit az \(\displaystyle (1,0)\) vektor origó körüli \(\displaystyle 2\alpha+\frac{4\pi}{n}\) szögű elforgatásával kapunk. Ha \(\displaystyle 0\leq k\leq n-2\), akkor a \(\displaystyle v_k\) vektort az origó körül \(\displaystyle \frac{4\pi}{n}\) szöggel elforgatva éppen a \(\displaystyle v_{k+1}\) vektort kapjuk. Ugyanennél az elforgatásnál \(\displaystyle v_{n-1}\) képe pedig \(\displaystyle v_0\), ugyanis \(\displaystyle 2\alpha+4\pi\) és \(\displaystyle 2\alpha\) szögek eltérése \(\displaystyle 2\pi\)-nek egész számú többszöröse. Mindezek alapján a \(\displaystyle v=v_0+v_1+\dots+v_{n-1}\) vektor origó körüli \(\displaystyle \frac{4\pi}{n}\) szögű elforgatottja éppen saját maga, hiszen az elforgatásnál \(\displaystyle v_0,v_1,\dots,v_{n-1}\) ciklikusan egymásba mennek át:

\(\displaystyle v_0\to v_1\to v_2\to \dots\to v_{n-1}\to v_0.\)

Mivel \(\displaystyle 0<\frac{4\pi}{n}<2\pi\) (vagyis az elforgatás különbözik az identitástól), ez csak úgy lehetséges, ha \(\displaystyle v=0\). Azonban ez azt jelenti, hogy a \(\displaystyle v_k\) vektorok \(\displaystyle x\) koordinátáinak összege is 0, ez pedig éppen a bizonyítandó

\(\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n-1}\cos \left(2\alpha+\frac{4k\pi}{n}\right)=0\)

állítást adja. Ezzel a feladat állítását is igazoltuk.

Megjegyzés. Meggondolható, hogy a \(\displaystyle v_0,v_1,\dots,v_{n-1}\) vektorok egy origó középpontú szabályos \(\displaystyle n\)-szög csúcsaiba mutatnak, ha \(\displaystyle n\) páratlan, amiből szintén következik, hogy összegük a nullvektor. Ha pedig \(\displaystyle n\) páros, akkor a vektorok egy origó középpontú szabályos \(\displaystyle n/2\)-szög csúcsaiba mutatnak úgy, hogy minden csúcsba a vektorok közül pontosan kettő mutat. (Itt \(\displaystyle n=4\) esetén még nem jön létre igazi szabályos sokszög: a kétféle vektor ekkor egymás ellentettje lesz.) Ebből szintén következik, hogy a vektorok összege a nullvektor.

Statistics:

62 students sent a solution.
5 points:	Apagyi Dávid, Asztalos Ádám, Baski Bence, Beke Csongor, Biczó Benedek, Csaplár Viktor, Csertán András, Csiszár Zoltán, Dékány Barnabás, Dobák Dániel, Fitos Bence, Fraknói Ádám, Füredi Erik Benjámin, Gárgyán Barnabás, Geretovszky Anna, Gyetvai Miklós, Hegedűs Dániel, Hoffmann Balázs, Horváth 127 Ádám, Jánosik Áron, Kerekes Anna, Kerekes Boldizsár, Markó Gábor, Márton Dénes, Mátravölgyi Bence, Nagy Nándor, Noszály Áron, Rareș Polenciuc, Reimann Kristóf, Sebestyén Pál Botond, Stomfai Gergely, Szabó 417 Dávid, Tálos Zoltán, Telek Zsigmond , Tiderenczl Dániel, Tubak Dániel, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
4 points:	Bokor Endre, Fajszi Bulcsú, Győrffy Ágoston, Major Botond, Péter Kristóf, Richlik Róbert, Szabó 991 Kornél, Tiszay Ádám, Tóth 827 Balázs, Velich Nóra.
3 points:	5 students.
2 points:	5 students.
1 point:	3 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2018