Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4979. feladat (2018. október)

B. 4979. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\) rendre az \(\displaystyle AB\), illetve az \(\displaystyle AC\) oldalnak belső pontja. A \(\displaystyle BE\) és \(\displaystyle CD\) szakaszok metszéspontja \(\displaystyle F\). Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle BC^2=BD\cdot BA+CE\cdot CA\), akkor \(\displaystyle ADFE\) húrnégyszög.

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.


Megoldás. Vegyük észre, hogy a \(\displaystyle BC\) oldal bármely \(\displaystyle M\) belső pontjára

\(\displaystyle BC\cdot BM + CB\cdot CM = BC\cdot(BM+MC) = BC^2 = BD\cdot BA+CE\cdot CA. \)

Válasszuk meg az \(\displaystyle M\) pontot úgy, hogy \(\displaystyle BC\cdot BM=BD\cdot BA\) legyen, ekkor az is automatikusan teljesülni fog, hogy \(\displaystyle CB\cdot CM = CE\cdot CA\). (Mivel \(\displaystyle BM=\frac{BC\cdot BM}{BC} < \frac{BC^2}{BC} = BC\), az \(\displaystyle M\) biztosan belső pontja a \(\displaystyle BC\) szakasznak.)

A szelőtétel megfordítása szerint a \(\displaystyle BC\cdot BM=BD\cdot BA\) és \(\displaystyle CB\cdot CM = CE\cdot CA\) egyenlőségekből következik, hogy \(\displaystyle ABME\) és \(\displaystyle ADMC\) húrnégyszögek.

Ezek után az \(\displaystyle ADFE\) négyszög szemközti szögeinek összege

\(\displaystyle ADF\sphericalangle+FEA\sphericalangle = AMC\sphericalangle+BMA\sphericalangle = 180^\circ,\)

ezért az \(\displaystyle ADFE\) valóban húrnégyszög.


Statisztika:

A B. 4979. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2018. októberi matematika feladatai