Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4981. feladat (2018. október)

B. 4981. Egy egységkocka \(\displaystyle xy\) síkra vonatkozó merőleges vetületének területe \(\displaystyle A\), a \(\displaystyle z\) tengelyre vonatkozó merőleges vetületének hossza pedig \(\displaystyle a\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle A = a\).

Javasolta: Erben Péter (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.


Megoldásvázlat. Felhasználjuk a következő segédtételeket.

  1. Tetszőleges \(\displaystyle \underline{\mathbf{v}}\) vektorra és \(\displaystyle \underline{\mathbf{e}}\) egységvektorra \(\displaystyle \underline{\mathbf{v}} \cdot \underline{\mathbf{e}}\) nem más, mint a \(\displaystyle \underline{\mathbf{v}}\) vektor \(\displaystyle \underline{\mathbf{e}}\) egyenesére vett merőleges vetületének előjeles hossza.
  2. Legyen az \(\displaystyle S_1\) és \(\displaystyle S_2\) síkok hajlásszöge \(\displaystyle \alpha \le 90^\circ\) és az \(\displaystyle S_1\) -ben fekvő \(\displaystyle \mathcal{A}\) alakzat területe \(\displaystyle T\). Vetítsük \(\displaystyle \mathcal{A}\)-t merőlegesen \(\displaystyle S_2\)-re, a vetület területe legyen \(\displaystyle T'\). Ekkor \(\displaystyle T' = T \cdot \cos \alpha\).
  3. Egy négyzet merőleges vetülete egy síkon paralelogramma.

Egy lehetséges megoldás fő lépései a következők.

  1. Toljuk el a kockát úgy, hogy (egyik) legkisebb \(\displaystyle z\) koordinátájú \(\displaystyle P\) csúcsa az \(\displaystyle XY\) síkra essen. Ez nem változtatja meg a feladatban szereplő vetületek mértékét. A \(\displaystyle P\) csúcsból induló oldalvektorok legyenek \(\displaystyle \underline{\mathbf{a}}\), \(\displaystyle \underline{\mathbf{b}}\), \(\displaystyle \underline{\mathbf{c}}\) olyan sorrendben, hogy \(\displaystyle \underline{\mathbf{a}} \times \underline{\mathbf{b}} = \underline{\mathbf{c}}\) (és így \(\displaystyle \underline{\mathbf{b}} \times \underline{\mathbf{c}} = \underline{\mathbf{a}}\), \(\displaystyle \underline{\mathbf{c}} \times \underline{\mathbf{a}} = \underline{\mathbf{b}}\)). Ez a három vektor ,,felfelé'' mutat.
  2. Legyen a \(\displaystyle Z\) tengelyhez tartozó bázisvektor \(\displaystyle \underline{\mathbf{z}}\). Ekkor a kocka \(\displaystyle \underline{\mathbf{z}}\) irányú vetületének hossza \(\displaystyle \underline{\mathbf{z}} \cdot (\underline{\mathbf{a}} + \underline{\mathbf{b}} + \underline{\mathbf{c}})\), mert a skalárszorzat tényezőinek szöge legfeljebb derékszög.
  3. Az \(\displaystyle XY\) síkon vett merőleges vetület mindig felfogható úgy, mint három (közös belső pont nélküli, esetleg elfajuló) paralelogramma uniója. Ezek a paralelogrammák éppen a három különböző irányú kocka-lap vetületei.
  4. Tekintsük az \(\displaystyle \underline{\mathbf{a}}\) és \(\displaystyle \underline{\mathbf{ b}}\) által kifeszített kocka-lap merőleges vetületét. Ennek területét ki tudjuk számítani, ha meghatározzuk síkjának és az \(\displaystyle XY\) síknak a szögét, majd ennek koszinuszát (a kocka-lap területe 1, ezért a vetület területe éppen a síkok szögének koszinusza), az viszont egyenlő a (jó irányítású) egység-normálvektorok skalárszorzatával, ami esetünkben éppen \(\displaystyle \underline{\mathbf{ c}} \cdot \underline{\mathbf{ z}}\). Hasonlóan a másik két kocka-lap vetületének területe \(\displaystyle \underline{\mathbf{ a}} \cdot \underline{\mathbf{ z}}\) és \(\displaystyle \underline{\mathbf{ b}} \cdot \underline{\mathbf{ z}}\). (Itt felhasználtuk, hogy a kocka-lapok megfelelő normálvektora éppen a harmadik kocka-élvektor.)
  5. Mivel a skalárszorzat disztributív és kommutatív, \(\displaystyle \underline{\mathbf{ z}} \cdot (\underline{\mathbf{ a}} + \underline{\mathbf{ b}} + \underline{\mathbf{ c}}) = \underline{\mathbf{ c}} \cdot \underline{\mathbf{ z}} + \underline{\mathbf{ a}} \cdot \underline{\mathbf{ z}} + \underline{\mathbf{ b}} \cdot \underline{\mathbf{ z}}\), ezzel kész vagyunk.

Megjegyzés: A feladat általánosítható \(\displaystyle n\)-dimenziós kockákra is, lásd például: https://www.youtube.com/watch?v=cEhLNS5AHss


Statisztika:

A B. 4981. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2018. októberi matematika feladatai