Problem B. 4981. (October 2018)

B. 4981. The area of the orthogonal projection of a unit cube onto the plane \(\displaystyle xy\) is \(\displaystyle A\), and the length of its orthogonal projection onto the \(\displaystyle z\)-axis is \(\displaystyle a\). Prove that \(\displaystyle A = a\).

Proposed by P. Erben, Budapest

(6 pont)

Deadline expired on November 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Felhasználjuk a következő segédtételeket.

1. Tetszőleges \(\displaystyle \underline{\mathbf{v}}\) vektorra és \(\displaystyle \underline{\mathbf{e}}\) egységvektorra \(\displaystyle \underline{\mathbf{v}} \cdot \underline{\mathbf{e}}\) nem más, mint a \(\displaystyle \underline{\mathbf{v}}\) vektor \(\displaystyle \underline{\mathbf{e}}\) egyenesére vett merőleges vetületének előjeles hossza.
2. Legyen az \(\displaystyle S_1\) és \(\displaystyle S_2\) síkok hajlásszöge \(\displaystyle \alpha \le 90^\circ\) és az \(\displaystyle S_1\) -ben fekvő \(\displaystyle \mathcal{A}\) alakzat területe \(\displaystyle T\). Vetítsük \(\displaystyle \mathcal{A}\)-t merőlegesen \(\displaystyle S_2\)-re, a vetület területe legyen \(\displaystyle T'\). Ekkor \(\displaystyle T' = T \cdot \cos \alpha\).
3. Egy négyzet merőleges vetülete egy síkon paralelogramma.

Egy lehetséges megoldás fő lépései a következők.

1. Toljuk el a kockát úgy, hogy (egyik) legkisebb \(\displaystyle z\) koordinátájú \(\displaystyle P\) csúcsa az \(\displaystyle XY\) síkra essen. Ez nem változtatja meg a feladatban szereplő vetületek mértékét. A \(\displaystyle P\) csúcsból induló oldalvektorok legyenek \(\displaystyle \underline{\mathbf{a}}\), \(\displaystyle \underline{\mathbf{b}}\), \(\displaystyle \underline{\mathbf{c}}\) olyan sorrendben, hogy \(\displaystyle \underline{\mathbf{a}} \times \underline{\mathbf{b}} = \underline{\mathbf{c}}\) (és így \(\displaystyle \underline{\mathbf{b}} \times \underline{\mathbf{c}} = \underline{\mathbf{a}}\), \(\displaystyle \underline{\mathbf{c}} \times \underline{\mathbf{a}} = \underline{\mathbf{b}}\)). Ez a három vektor ,,felfelé'' mutat.
2. Legyen a \(\displaystyle Z\) tengelyhez tartozó bázisvektor \(\displaystyle \underline{\mathbf{z}}\). Ekkor a kocka \(\displaystyle \underline{\mathbf{z}}\) irányú vetületének hossza \(\displaystyle \underline{\mathbf{z}} \cdot (\underline{\mathbf{a}} + \underline{\mathbf{b}} + \underline{\mathbf{c}})\), mert a skalárszorzat tényezőinek szöge legfeljebb derékszög.
3. Az \(\displaystyle XY\) síkon vett merőleges vetület mindig felfogható úgy, mint három (közös belső pont nélküli, esetleg elfajuló) paralelogramma uniója. Ezek a paralelogrammák éppen a három különböző irányú kocka-lap vetületei.
4. Tekintsük az \(\displaystyle \underline{\mathbf{a}}\) és \(\displaystyle \underline{\mathbf{ b}}\) által kifeszített kocka-lap merőleges vetületét. Ennek területét ki tudjuk számítani, ha meghatározzuk síkjának és az \(\displaystyle XY\) síknak a szögét, majd ennek koszinuszát (a kocka-lap területe 1, ezért a vetület területe éppen a síkok szögének koszinusza), az viszont egyenlő a (jó irányítású) egység-normálvektorok skalárszorzatával, ami esetünkben éppen \(\displaystyle \underline{\mathbf{ c}} \cdot \underline{\mathbf{ z}}\). Hasonlóan a másik két kocka-lap vetületének területe \(\displaystyle \underline{\mathbf{ a}} \cdot \underline{\mathbf{ z}}\) és \(\displaystyle \underline{\mathbf{ b}} \cdot \underline{\mathbf{ z}}\). (Itt felhasználtuk, hogy a kocka-lapok megfelelő normálvektora éppen a harmadik kocka-élvektor.)
5. Mivel a skalárszorzat disztributív és kommutatív, \(\displaystyle \underline{\mathbf{ z}} \cdot (\underline{\mathbf{ a}} + \underline{\mathbf{ b}} + \underline{\mathbf{ c}}) = \underline{\mathbf{ c}} \cdot \underline{\mathbf{ z}} + \underline{\mathbf{ a}} \cdot \underline{\mathbf{ z}} + \underline{\mathbf{ b}} \cdot \underline{\mathbf{ z}}\), ezzel kész vagyunk.

Megjegyzés: A feladat általánosítható \(\displaystyle n\)-dimenziós kockákra is, lásd például: https://www.youtube.com/watch?v=cEhLNS5AHss

Statistics:

23 students sent a solution.
6 points:	Beke Csongor, Bokor Endre, Dobák Dániel, Fekete Richárd, Győrffy Ágoston, Hervay Bence, Hoffmann Balázs, Kerekes Anna, Markó Gábor, Márton Dénes, Nagy Nándor, Rareș Polenciuc, Soós 314 Máté, Szabó 417 Dávid, Telek Zsigmond , Weisz Máté, Zsigri Bálint.
5 points:	Lovas Márton, Török Mátyás, Várkonyi Zsombor.
2 points:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2018