Problem B. 4982. (November 2018)

B. 4982. The diagonals \(\displaystyle AC\) and \(\displaystyle BD\) of a convex kite \(\displaystyle ABCD\) intersect at point \(\displaystyle E\) such that \(\displaystyle AE<CE\). The midpoint of diagonal \(\displaystyle AC\) is \(\displaystyle F\). The circles \(\displaystyle ABE\) and \(\displaystyle CDE\) intersect again at \(\displaystyle M\). Show that \(\displaystyle \angle EMF=90^\circ\).

(3 pont)

Deadline expired on December 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az \(\displaystyle AB\) oldal felezőpontja \(\displaystyle K\), a \(\displaystyle CD\) oldal felezőpontja \(\displaystyle L\), továbbá legyen az \(\displaystyle EF\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle N\).

Vegyük észre, hogy az \(\displaystyle N\) pont egyben a \(\displaystyle KL\) szakasz felezőpontja is, mert

\(\displaystyle \overrightarrow{EK}+\overrightarrow{EL} = \dfrac{\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}}2 + \dfrac{\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}}2 = \dfrac{\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EC}}2 = \overrightarrow{EF} = 2\overrightarrow{EN}. \)

Most tekintsük az \(\displaystyle ABE\), \(\displaystyle CDE\) köröket, és az \(\displaystyle EF\) szakasz Thalész-körét. A deltoid átlói merőlegesen metszik egymást, tehát az \(\displaystyle ABE\) és \(\displaystyle CDE\) háromszögek derékszögűek. A Thalész-tétel megfordítása szerint az első két kör középpontja \(\displaystyle K\), illetve \(\displaystyle L\); a harmadik kör középpontja \(\displaystyle N\). Mint láttuk, ez a három középpont egy egyenesre esik, így a \(\displaystyle KNL\) egyenesre mindhárom kör szimmetrikus. Mindhárom kör átmegy az \(\displaystyle E\) ponton, ezért átmenek az \(\displaystyle E\) pontnak a közös szimmetriatengelyre vonatkozó tükörképén is, ami tehát az \(\displaystyle M\) pont.

Tehát az \(\displaystyle EF\) szakasz Thalész-köre átmegy az \(\displaystyle M\) ponton; ez bizonyítja, hogy \(\displaystyle EMF\sphericalangle\) derékszög.

Statistics:

66 students sent a solution.
3 points:	Al-Hag Máté Amin, Argay Zsolt, Bánó Bulcsú, Baski Bence, Bauer Lujza, Beke Csongor, Bencsik Ádám, Csaplár Viktor, Csertán András, Dobák Dániel, Fekete Richárd, Fleiner Zsigmond, Füredi Erik Benjámin, Geretovszky Anna, Győrffi Ádám György, Győrffy Johanna, Hámori Janka, Hervay Bence, Jánosik Máté, Kerekes Anna, Kerekes Boldizsár, Kitschner Bernadett, Kovács 129 Tamás, Lengyel Ádám, Lovas Márton, Markó Gábor, Mátravölgyi Bence, Nagy Nándor, Nguyen Bich Diep, Rareș Polenciuc, Révész Máté, Richlik Róbert, Sebestyén Pál Botond, Seres-Szabó Márton, Snehansu Bhowmick, Szabó 417 Dávid, Telek Zsigmond , Terjék András József, Tiderenczl Dániel, Tiszay Dávid, Tóth Ábel, Várkonyi Zsombor, Velich Nóra, Vida Tamás, Weisz Máté.
2 points:	8 students.
1 point:	8 students.
0 point:	4 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2018