Problem B. 4983. (November 2018)

B. 4983. Find the real solutions of the equation

\(\displaystyle x^2+2x-3-\sqrt{\frac{x^2+2x-3}{x^2-2x-3}}=\frac{2}{x^2-2x-3}. \)

Proposed by L. Laczkó and J. Szoldatics, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on December 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenletben szereplő kifejezések akkor értelmesek, ha \(\displaystyle x^2-2x-3\ne 0\), és \(\displaystyle \frac{x^2+2x-3}{x^2-2x-3} \geq 0\). Mivel \(\displaystyle x^2-2x-3=(x-1)^2-4\), ezért \(\displaystyle x^2-2x-3\ne 0\) pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle x\notin\{-1,3\}\). Ha \(\displaystyle -1<x<3\), akkor \(\displaystyle x^2-2x-3<0\), ha pedig \(\displaystyle x<-1\) vagy \(\displaystyle 3<x\), akkor \(\displaystyle x^2-2x-3>0\). Ehhez hasonlóan, \(\displaystyle x^2+2x-3=(x+1)^2-4\) alapján \(\displaystyle -3< x< 1\) esetén \(\displaystyle x^2+2x-3<0\), továbbá \(\displaystyle x\leq -3\) vagy \(\displaystyle 1\leq x\) mellett \(\displaystyle x^2+2x-3\geq 0\). Mindezt összefoglalva, az egyenlet akkor értelmes, ha \(\displaystyle x\in (-\infty,-3]\cup (-1,1]\cup (3,\infty)\).

Vizsgáljuk először azokat az \(\displaystyle x\)-eket, amelyekre \(\displaystyle x\in (-\infty,-3]\cup (3,\infty)\) teljesül, ekkor \(\displaystyle x^2-2x-3\) pozitív, \(\displaystyle x^2+2x-3\) nemnegatív. Szorozzunk \(\displaystyle (x^2-2x-3)\)-mal:

\(\displaystyle (x^2+2x-3)(x^2-2x-3)-\sqrt{(x^2+2x-3)(x^2-2x-3)}=2.\)

Ekkor \(\displaystyle z=\sqrt{(x^2+2x-3)(x^2-2x-3)}\)-re

\(\displaystyle z^2-z-2=0,\)

amiből \(\displaystyle z\in \{-1,2\}\). Mivel \(\displaystyle z\geq0\), ezért csak \(\displaystyle z=2\) lehet, tehát \(\displaystyle 4=z^2=(x^2-2x-3)(x^2+2x-3)=(x^2-3)^2-4x^2=x^4-10x^2+9\). Azaz \(\displaystyle x^4-10x^2+5=0\), amiből \(\displaystyle x^2\in \frac{10\pm \sqrt{80}}{2}=5\pm\sqrt{20}\). Figyelembe véve, hogy \(\displaystyle |x|\geq 3\), ebből az \(\displaystyle x=\pm \sqrt{5+\sqrt{20}}\) megoldásokat kapjuk.

Végül vizsgáljuk azokat az \(\displaystyle x\)-eket, amelyekre \(\displaystyle x\in (-1,1]\) teljesül, ekkor \(\displaystyle x^2-2x-3\) negatív, \(\displaystyle x^2+2x-3\) nempozitív. Szorozzunk \(\displaystyle (x^2-2x-3)\)-mal:

\(\displaystyle (x^2+2x-3)(x^2-2x-3)+\sqrt{(x^2+2x-3)(x^2-2x-3)}=2.\)

(Itt a bal oldalon szereplő gyökjel alatti kifejezés előtti előjel azért változott meg, mert negatív számmal szoroztunk, és ennek négyzetét ,,vittük be'' a gyökjel alá. Ha \(\displaystyle a<0<b\), akkor \(\displaystyle a\sqrt{b}=-\sqrt{a^2b}\), hiszen a két oldal abszolút értéke és előjele is egyezik.)

Ekkor \(\displaystyle z=\sqrt{(x^2+2x-3)(x^2-2x-3)}\)-re

\(\displaystyle z^2+z-2=0,\)

amiből \(\displaystyle z\in \{1,-2\}\). Mivel \(\displaystyle z\geq 0\), ezért csak \(\displaystyle z=1\) lehet, tehát \(\displaystyle 1=z^2=(x^2-2x-3)(x^2+2x-3)=(x^2-3)^2-4x^2=x^4-10x^2+9\). Azaz \(\displaystyle x^4-10x^2+8=0\), amiből \(\displaystyle x^2\in \frac{10\pm \sqrt{68}}{2}=5\pm\sqrt{17}\). Figyelembe véve, hogy \(\displaystyle |x|\leq 1\), ebből az \(\displaystyle x=\pm \sqrt{5-\sqrt{17}}\) megoldásokat kapjuk.

Tehát az egyenletnek négy megoldása van: \(\displaystyle \pm \sqrt{5+\sqrt{20}}\), illetve \(\displaystyle \pm \sqrt{5-\sqrt{17}}\).

Statistics:

162 students sent a solution.
4 points:	Argay Zsolt, Bánó Bulcsú, Baski Bence, Bauer Lujza, Beke Csongor, Csiszár Zoltán, Demkó Petra, Dénes Gergő, Dobák Dániel, Farkas Boróka, Fekete Richárd, Fülöp Anna Tácia, Füredi Erik Benjámin, Győrffi Ádám György, Hegedűs Dániel, Hervay Bence, Horvath Csongor, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Kerekes Anna, Major Botond, Markó Gábor, Mátravölgyi Bence, Mendei Barna, Nguyen Bich Diep, Nguyễn Minh Khang, Péter Kristóf, Reimann Kristóf, Sárvári Tibor, Sebestyén Pál Botond, Soós 314 Máté, Tálos Zoltán, Telek Zsigmond , Tiefenbeck Flórián, Tóth 827 Balázs, Umann Dávid, Vincze András , Weisz Máté, Zsigri Bálint.
3 points:	32 students.
2 points:	45 students.
1 point:	33 students.
0 point:	6 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2018