Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4984. (November 2018)

B. 4984. Prove that for any positive integer \(\displaystyle x\), there exists a positive integer \(\displaystyle y\) such that \(\displaystyle x^3+y^3+1\) is divisible by the number \(\displaystyle x+y+1\). Is there a positive integer \(\displaystyle x\) for which there are infinitely many \(\displaystyle y\) with this property?

Proposed by L. Surányi, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on December 10, 2018.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Az \(\displaystyle a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\) azonosság alapján \(\displaystyle x+y+1\) mindig osztja \(\displaystyle x^3+y^3+1-3xy\)-t, így \(\displaystyle x^3 + y^3 +1\)-nek pontosan akkor osztója, ha \(\displaystyle x+y+1\mid 3xy\). Olyan \(\displaystyle y\)-t kell tehát keresnünk, melyhez létezik olyan \(\displaystyle k\) egész szám, melyre

\(\displaystyle k(x+y+1)=3xy.\)

Az egyenletet átrendezve:

\(\displaystyle (x+1)k=(3x-k)y.\)

Legyen \(\displaystyle l:=3x-k\), ekkor \(\displaystyle k\) pontosan akkor egész, ha \(\displaystyle l\) is egész. Az egyenletben \(\displaystyle k=3x-l\)-t helyettesítve:

\(\displaystyle (x+1)(3x-l)=ly,\)

azaz

\(\displaystyle 3x(x+1)-l(x+1)=ly.\)

Olyan \(\displaystyle l\) egész számot keresünk tehát, amelyre ennek az egyenletnek van pozitív egész \(\displaystyle y\) megoldása. Mivel \(\displaystyle x>0\), ezért \(\displaystyle 3x(x+1)\ne 0\), és így \(\displaystyle l=0\) nem megfelelő, ezért az egyenlet egyetlen megoldása \(\displaystyle y\)-ra:

\(\displaystyle y=\frac{3x(x+1)}{l}-(x+1),\)

ami pontosan akkor egész, ha \(\displaystyle l\mid 3x(x+1)\). Mivel a \(\displaystyle 3x(x+1)\) szám 0-tól különböző, ezért csak véges sok osztója van, vagyis \(\displaystyle l\) megválasztására, és így \(\displaystyle y\)-ra is csak véges sok lehetőségünk van, amivel a feladat második kérdését meg is válaszoltuk. Ha \(\displaystyle l\mid 3x(x+1)\), akkor biztosan egész \(\displaystyle y\) értéket kapunk, azt kell igazolnunk még, hogy mindig létezik megfelelő pozitív egész \(\displaystyle y\) is. Ehhez \(\displaystyle l\)-et úgy választjuk meg, hogy \(\displaystyle y\) a lehető legnagyobb legyen. Legyen tehát \(\displaystyle l=1\), ekkor \(\displaystyle y=3x(x+1)-(x+1)=3x^2+2x-1\) valóban pozitív egész szám (amennyiben \(\displaystyle x\) pozitív egész szám).

Ezzel igazoltuk, hogy egyetlen pozitív egész \(\displaystyle x\)-hez sincs végtelen sok megfelelő \(\displaystyle y\), viszont legalább egy megfelelő mindig létezik, például \(\displaystyle y=3x^2+2x-1\).

Megjegyzés. A fenti gondolatmenetből következett, hogy \(\displaystyle y=3x^2+2x-1\) megfelelő, így ellenőrzésre a feladat megoldásához már nincs szükség, de a biztonság kedvéért az \(\displaystyle x+y+1\mid 3xy\) oszthatóságot erre a választásra ellenőrizve:

\(\displaystyle 3x^2+3x\mid 3x(3x^2+2x-1) \)

valóban teljesül, hiszen \(\displaystyle 3x^2+3x=3x(x+1)\), továbbá \(\displaystyle 3x(3x^2+2x-1)=3x(x+1)(3x-1)\).

2. megoldás. Először az \(\displaystyle x^3+y^3+1\) kifejezésből elimináljuk \(\displaystyle y\)-t. Mivel \(\displaystyle y\equiv(-x-1)\pmod{x+y+1}\),

\(\displaystyle x^3+y^3+1 \equiv x^3+(-x-1)^3+1 = -3x(x+1) \pmod{x+y+1}, \)

vagyis

\(\displaystyle x+y+1\Big\vert x^3+y^3+1 \quad\Longleftrightarrow\quad 0\equiv-3x(x+1) \pmod{x+y+1} \quad\Longleftrightarrow\quad x+y+1\Big\vert 3x(x+1). \)

A \(\displaystyle 3x(x+1)\) pozitív egész számnak csak véges sok osztója van, ezért egy \(\displaystyle x\)-hez legfeljebb csak véges sok jó \(\displaystyle y\) létezhet.

Minden olyan osztó, amely \(\displaystyle x+1\)-nél nagyobb, biztosít egy megfelelő \(\displaystyle y\)-t. Például a \(\displaystyle 3x(x+1)\) szám osztója önmagának; ezért az \(\displaystyle y=3x(x+1)-x-1 = (3x-1)(x+1)\) pozitív egész jó.


Statistics:

95 students sent a solution.
4 points:61 students.
3 points:26 students.
2 points:2 students.
1 point:2 students.
0 point:4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2018