A B. 4986. feladat (2018. november)

B. 4986. Jelölje KP azt a 64 térbeli pontot, amelyeknek mindhárom koordinátája 1, 2, 3 vagy 4. Kata és Péter térbeli amőbát játszanak a KP pontjain. Kata kezdi a játékot, kiválaszt egy tetszés szerinti pontot KP-ből, és azt kékre színezi. A második lépésben Péter választ egy, az előzőtől különböző pontot, és azt pirosra színezi. Ezután felváltva színeznek kékre, illetve pirosra egy korábban még színezetlen KP-beli pontot. Az győz, aki először színez a saját színére négy, egy egyenesre illeszkedő pontot. Mutassuk meg, hogy Katának mindegy, hogy az első lépésben az \(\displaystyle (1,1,2)\) vagy a \(\displaystyle (2,2,1)\) pontot színezi kékre.

Javasolta: Benkő Dávid (South Alabama)

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Meg fogunk adni egy \(\displaystyle \varphi:KP\to KP\) bijekciót, aminél \(\displaystyle (1,1,2)\mapsto (2,2,1)\), továbbá KP-beli egy egyenesre eső pontnégyes képe mindig egy egyenesre eső pontnégyes és fordítva. Egy ilyen bijekció igazolja, hogy Katának mindegy, hogy első lépésben az \(\displaystyle (1,1,2)\) vagy a \(\displaystyle (2,2,1)\) pontot választja. (Egy ilyen bijekció segítségével ugyanis egy \(\displaystyle (1,1,2)\)-vel kezdett játék ,,lefordítható'' egy \(\displaystyle (2,2,1)\)-gyel kezdett játékká, és fordítva.)

Legyen \(\displaystyle \alpha:\{1,2,3,4\}\to \{1,2,3,4\}\) az a bijekció, aminél \(\displaystyle 1\leftrightarrow 2\) és \(\displaystyle 3\leftrightarrow 4\). Végül a keresett \(\displaystyle \phi:KP\to KP\) bijekció legyen az a hozzárendelés, aminél \(\displaystyle (a_1,a_2,a_3) \mapsto (\alpha(a_1),\alpha(a_2),\alpha(a_3))\). Világos, hogy ez bijekció, és hogy \(\displaystyle (1,1,2) \mapsto (2,2,1)\). Meg kell mutatnunk, hogy pontosan azokat a pontnégyeseket viszi egy egyenesre eső pontnégyesekbe, melyek eredetileg is egy egyenesre estek.

Az \(\displaystyle a=(a_1,a_2,a_3),b=(b_1,b_2,b_3),c=(c_1,c_2,c_3),d=(d_1,d_2,d_3)\) pontok pontosan akkor esnek ebben a sorrendben egy egyenesre KP-n belül, ha minden \(\displaystyle j=1,2,3\) esetén

(i) \(\displaystyle a_j=b_j=c_j=d_j\), vagy

(ii) \(\displaystyle (a_j,b_j,c_j,d_j)=(1,2,3,4)\) vagy \(\displaystyle (a_j,b_j,c_j,d_j)=(4,3,2,1)\),

és legalább az egyik \(\displaystyle j\)-re (ii) áll fenn (különben a 4 pont egybeesik).

Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle a,b,c,d\) esetén ez pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle \varphi(c),\varphi(d),\varphi(a),\varphi(b)\) esetén is teljesül. Világos, hogy (i) érvényben marad: ha \(\displaystyle a_j=b_j=c_j=d_j\), akkor a \(\displaystyle \varphi(c),\varphi(d),\varphi(a),\varphi(b)\) vektorok \(\displaystyle j\)-edik koordinátája is ugyanez a közös érték.

Ha \(\displaystyle a,b,c,d\) esetén (ii) úgy teljesült, hogy \(\displaystyle a_j=1,b_j=2,c_j=3,d_j=4\), akkor a \(\displaystyle \varphi(c),\varphi(d),\varphi(a),\varphi(b)\) vektorok \(\displaystyle j\)-edik koordinátája rendre \(\displaystyle 4,3,2,1\). Ha pedig (ii) úgy teljesült, hogy \(\displaystyle a_j=4,b_j=3,c_j=2,d_j=1\), akkor a \(\displaystyle \varphi(c),\varphi(d),\varphi(a),\varphi(b)\) vektorok \(\displaystyle j\)-edik koordinátája rendre \(\displaystyle 1,2,3,4\). Látható tehát, hogy (ii) is érvényben marad.

Tehát \(\displaystyle a,b,c,d\) pontosan akkor esik egy egyenesre, ha \(\displaystyle \varphi(a),\varphi(b),\varphi(c),\varphi(d)\) egy egyenesre esik, amiből a fentiek szerint következik, hogy Katának valóban mindegy, hogy az első lépésben az \(\displaystyle (1,1,2)\) vagy a \(\displaystyle (2,2,1)\) pontot színezi kékre.

Statisztika:

44 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Beke Csongor, Csaplár Viktor, Dobák Dániel, Fleiner Zsigmond, Füredi Erik Benjámin, Hámori Janka, Hegedűs Dániel, Kerekes Anna, Nagy Nándor, Szabó 417 Dávid, Szabó 991 Kornél, Terjék András József, Tóth Ábel, Várkonyi Zsombor, Zsigri Bálint.
4 pontot kapott:	Győrffi Ádám György, Győrffy Ágoston, Hervay Bence, Jánosik Máté, Kerekes Boldizsár, Kovács 129 Tamás.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	20 versenyző.

A KöMaL 2018. novemberi matematika feladatai