Problem B. 4986. (November 2018)

B. 4986. Consider the 64 points of the space for which each of the three coordinates is 1, 2, 3 or 4. Kate and Peter are playing a three-dimensional tic-tac-toe game on this set of points. Kate starts the game by selecting any point and colouring it blue. In the second step, Peter selects a different point and colours it red. Then they take turns by selecting further points and colouring them in blue or red. Whoever first completes a collinear set of four points of their own colour will win the game. Show that it makes no difference for Kate whether she starts by colouring the point \(\displaystyle (1,1,2)\) or the point \(\displaystyle (2,2,1)\) blue in the first step.

Proposed by D. Benkő, South Alabama

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Meg fogunk adni egy \(\displaystyle \varphi:KP\to KP\) bijekciót, aminél \(\displaystyle (1,1,2)\mapsto (2,2,1)\), továbbá KP-beli egy egyenesre eső pontnégyes képe mindig egy egyenesre eső pontnégyes és fordítva. Egy ilyen bijekció igazolja, hogy Katának mindegy, hogy első lépésben az \(\displaystyle (1,1,2)\) vagy a \(\displaystyle (2,2,1)\) pontot választja. (Egy ilyen bijekció segítségével ugyanis egy \(\displaystyle (1,1,2)\)-vel kezdett játék ,,lefordítható'' egy \(\displaystyle (2,2,1)\)-gyel kezdett játékká, és fordítva.)

Legyen \(\displaystyle \alpha:\{1,2,3,4\}\to \{1,2,3,4\}\) az a bijekció, aminél \(\displaystyle 1\leftrightarrow 2\) és \(\displaystyle 3\leftrightarrow 4\). Végül a keresett \(\displaystyle \phi:KP\to KP\) bijekció legyen az a hozzárendelés, aminél \(\displaystyle (a_1,a_2,a_3) \mapsto (\alpha(a_1),\alpha(a_2),\alpha(a_3))\). Világos, hogy ez bijekció, és hogy \(\displaystyle (1,1,2) \mapsto (2,2,1)\). Meg kell mutatnunk, hogy pontosan azokat a pontnégyeseket viszi egy egyenesre eső pontnégyesekbe, melyek eredetileg is egy egyenesre estek.

Az \(\displaystyle a=(a_1,a_2,a_3),b=(b_1,b_2,b_3),c=(c_1,c_2,c_3),d=(d_1,d_2,d_3)\) pontok pontosan akkor esnek ebben a sorrendben egy egyenesre KP-n belül, ha minden \(\displaystyle j=1,2,3\) esetén

(i) \(\displaystyle a_j=b_j=c_j=d_j\), vagy

(ii) \(\displaystyle (a_j,b_j,c_j,d_j)=(1,2,3,4)\) vagy \(\displaystyle (a_j,b_j,c_j,d_j)=(4,3,2,1)\),

és legalább az egyik \(\displaystyle j\)-re (ii) áll fenn (különben a 4 pont egybeesik).

Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle a,b,c,d\) esetén ez pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle \varphi(c),\varphi(d),\varphi(a),\varphi(b)\) esetén is teljesül. Világos, hogy (i) érvényben marad: ha \(\displaystyle a_j=b_j=c_j=d_j\), akkor a \(\displaystyle \varphi(c),\varphi(d),\varphi(a),\varphi(b)\) vektorok \(\displaystyle j\)-edik koordinátája is ugyanez a közös érték.

Ha \(\displaystyle a,b,c,d\) esetén (ii) úgy teljesült, hogy \(\displaystyle a_j=1,b_j=2,c_j=3,d_j=4\), akkor a \(\displaystyle \varphi(c),\varphi(d),\varphi(a),\varphi(b)\) vektorok \(\displaystyle j\)-edik koordinátája rendre \(\displaystyle 4,3,2,1\). Ha pedig (ii) úgy teljesült, hogy \(\displaystyle a_j=4,b_j=3,c_j=2,d_j=1\), akkor a \(\displaystyle \varphi(c),\varphi(d),\varphi(a),\varphi(b)\) vektorok \(\displaystyle j\)-edik koordinátája rendre \(\displaystyle 1,2,3,4\). Látható tehát, hogy (ii) is érvényben marad.

Tehát \(\displaystyle a,b,c,d\) pontosan akkor esik egy egyenesre, ha \(\displaystyle \varphi(a),\varphi(b),\varphi(c),\varphi(d)\) egy egyenesre esik, amiből a fentiek szerint következik, hogy Katának valóban mindegy, hogy az első lépésben az \(\displaystyle (1,1,2)\) vagy a \(\displaystyle (2,2,1)\) pontot színezi kékre.

Statistics:

44 students sent a solution.
5 points:	Beke Csongor, Csaplár Viktor, Dobák Dániel, Fleiner Zsigmond, Füredi Erik Benjámin, Hámori Janka, Hegedűs Dániel, Kerekes Anna, Nagy Nándor, Szabó 417 Dávid, Szabó 991 Kornél, Terjék András József, Tóth Ábel, Várkonyi Zsombor, Zsigri Bálint.
4 points:	Győrffi Ádám György, Győrffy Ágoston, Hervay Bence, Jánosik Máté, Kerekes Boldizsár, Kovács 129 Tamás.
1 point:	3 students.
0 point:	20 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2018