Problem B. 4987. (November 2018)

B. 4987. The circumcentre of an acute-angled scalene triangle \(\displaystyle ABC\) is \(\displaystyle O\), its orthocentre is \(\displaystyle M\), the foot of the altitude drawn from vertex \(\displaystyle A\) is \(\displaystyle D\), and the midpoint of side \(\displaystyle AB\) is \(\displaystyle F\). The ray drawn from \(\displaystyle F\) through \(\displaystyle M\) intersects the circumcircle of triangle \(\displaystyle ABC\) at \(\displaystyle G\).

\(\displaystyle a)\) Prove that the points \(\displaystyle A\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle D\) and \(\displaystyle G\) are concyclic.

\(\displaystyle b)\) Let \(\displaystyle K\) denote the circle in \(\displaystyle a)\), and let \(\displaystyle E\) be the midpoint of line segment \(\displaystyle CM\). Prove that \(\displaystyle EK=OK\).

Proposed by B. Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje az \(\displaystyle O\)-ból a csúcsokba mutató vektorokat értelemszerűen \(\displaystyle \mathbf a\), \(\displaystyle \mathbf b\) és \(\displaystyle \mathbf c\), valamint legyen a \(\displaystyle C\) csúcs \(\displaystyle O\)-ra vonatkozó tükörképe \(\displaystyle C'\). Világos, hogy \(\displaystyle \overrightarrow{OC'}=-\mathbf c\), valamint az \(\displaystyle F\) felezőpontra \(\displaystyle \overrightarrow{OF}=\frac{\mathbf a+ \mathbf b}{2}\). Jól ismert továbbá (lásd például Reiman I.: A geometria és határterületei, 3.3 szakasz), hogy \(\displaystyle \overrightarrow{OM}=\mathbf a +\mathbf b+\mathbf c\). Az eddigiekből azonnal következik, hogy \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle MC'\) szakaszt is felezi, hiszen az \(\displaystyle 2\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OC'}\) azonosság teljesül.

Mivel az \(\displaystyle FM\) egyenesre illeszkedik \(\displaystyle G\), így a Thalész-tételből következik, hogy \(\displaystyle C'GC\angle=90^\circ\). Mivel \(\displaystyle MDC\angle=90^\circ\), így \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle G\) illeszkednek az \(\displaystyle MC\) szakasz Thalész-körére, ebből pedig a kerületi szögek tétele miatt \(\displaystyle MCD\angle=MGD\angle\). (Az \(\displaystyle AD\) magasságvonal elválasztja a \(\displaystyle C'\) és \(\displaystyle G\) pontokat, valamint a \(\displaystyle C'\) és \(\displaystyle C\) pontokat is, így \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle G\) az \(\displaystyle MD\) ugyanazon partján van.) Másrészről, az \(\displaystyle ABC\angle=\beta\) jelöléssel, világos, hogy \(\displaystyle BCM\angle=BAM\angle=90^\circ-\beta\), hiszen \(\displaystyle M\) a magasságpont és \(\displaystyle ABC\triangle\) hegyesszögű. Így, a két kapott szögegyenlőség összevetéséből \(\displaystyle FAD\angle=FGD\angle\) következik, így \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle G\) rajta van \(\displaystyle FD\) egy látókörívén, vagyis \(\displaystyle FDGA\) valóban húrnégyszög. Ezzel az \(\displaystyle a)\) részt beláttuk.

Vegyük észre, hogy \(\displaystyle \overrightarrow{OE}=(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OC})/2=\frac{\mathbf a+ \mathbf b}{2}+\mathbf c=\overrightarrow{C'F}\), így \(\displaystyle OE\parallel C'G\). Továbbá a \(\displaystyle C'G\) húr \(\displaystyle e\) szakaszfelező merőlegese illeszkedik a körülírt kör \(\displaystyle O\) középpontjára. Toljuk el az \(\displaystyle e\) egyenest \(\displaystyle \frac{\overrightarrow{OE}}{2}\) vektorral, így kapjuk \(\displaystyle f\)-et. Az eddigiekből világos, hogy \(\displaystyle f\) éppen \(\displaystyle OE\) szakaszfelező merőlegese. Másrészt \(\displaystyle \overrightarrow{OE}=\overrightarrow{C'F}\) miatt \(\displaystyle f\) egyben \(\displaystyle FG\) szakaszfelező merőlegese. Mivel \(\displaystyle K\) egyenlő távolságra van \(\displaystyle F\)-től és \(\displaystyle G\)-től, így illeszkedik \(\displaystyle f\)-re, amiért \(\displaystyle O\) és \(\displaystyle E\) pontoktól is egyforma távolságra van. Ezzel a \(\displaystyle b)\) részt is beláttuk.

Statistics:

33 students sent a solution.
5 points:	Baski Bence, Beke Csongor, Csaplár Viktor, Csertán András, Dobák Dániel, Fekete Richárd, Fülöp Anna Tácia, Hámori Janka, Hegedűs Dániel, Jánosik Áron, Kerekes Anna, Kovács 129 Tamás, Mátravölgyi Bence, Nguyen Bich Diep, Rareș Polenciuc, Snehansu Bhowmick, Szabó 417 Dávid, Tálos Zoltán, Tiderenczl Dániel, Tóth 827 Balázs, Velich Nóra, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
4 points:	Csiszár Zoltán, Kitschner Bernadett.
3 points:	1 student.
0 point:	7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2018