Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4989. feladat (2018. november)

B. 4989. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\) és \(\displaystyle AB\) oldalainak felezőpontjai rendre \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\). Jelölje a háromszög súlypontját \(\displaystyle S\). Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle AFS\), \(\displaystyle BDS\) és \(\displaystyle CES\) háromszögek kerülete egyenlő. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög szabályos.

(6 pont)

A beküldési határidő 2018. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen az oldalak hossza \(\displaystyle BC=2a\), \(\displaystyle CA=2b\) és \(\displaystyle AB=2c\); a súlyvonalak hossza \(\displaystyle AD=3x\), \(\displaystyle BE=3y\), \(\displaystyle CF=3z\).

Mint jól ismert, a \(\displaystyle BCS\) háromszögben az \(\displaystyle SD\) súlyvonalra \(\displaystyle 4SD^2=2SB^2+2SC^2-BC^2\), azaz \(\displaystyle 4x^2=8y^2+8y^2-4a^2\); ebből azt kapjuk, hogy \(\displaystyle a=\sqrt{2y^2+2z^2-x^2}\). Hasonlóan, \(\displaystyle b=\sqrt{2x^2+2z^2-y^2}\) és \(\displaystyle c=\sqrt{2x^2+2y^2-z^2}\).

A feltétel szerint az \(\displaystyle AFS\) és \(\displaystyle CES\) háromszögek kerülete egyenlő:

\(\displaystyle k_{AFS} = 2x+z+c = x+2y+a = k_{CES}, \)

\(\displaystyle 2x+z+\sqrt{2x^2+2y^2-z^2} = y+2z+\sqrt{2z^2+2z^2-y^2}. \)

Azért, hogy megszabaduljunk a gyökjelektől, rendezzük egy oldalra a négyzetgyököket, majd emeljünk négyzetre:

\(\displaystyle 2x-y-z = \sqrt{2x^2+2z^2-y^2}-\sqrt{2x^2+2y^2-z^2}, \)

\(\displaystyle 4x^2+y^2+z^2-4xy-4xz+2yz = (2x^2+2z^2-y^2) -2\sqrt{2x^2+2z^2-y^2}\sqrt{2x^2+2y^2-z^2} +(2x^2+2y^2-z^2) . \)

Rendezzük ismét egy oldalra a négyzetgyököket (közben \(\displaystyle 2\)-vel oszthatunk), és emeljünk négyzetre:

\(\displaystyle \sqrt{2x^2+2z^2-y^2}\sqrt{2x^2+2y^2-z^2} = 2xy+2xz-yz, \)

\(\displaystyle 4x^4-2y^4-2z^4+2x^2y^2+2x^2z^2+5y^2z^2 = 4x^2y^2+4x^2z^2+y^2z^2+8x^2yz-4xy^2z-4xyz^2 . \)

Ezt megint egy oldalra rendezzük és \(\displaystyle 2\)-vel osztunk:

\(\displaystyle 2x^4-y^4-z^4-x^2y^2-x^2z^2+2y^2z^2-4x^2yz+2xy^2z+2xyz^2 = 0. \)\(\displaystyle (1) \)

Az \(\displaystyle x,y,z\) és \(\displaystyle a,b,c\) ciklikus cseréjével ugyanígy kaphatjuk, hogy

\(\displaystyle 2y^4-z^4-x^4-y^2z^2-y^2x^2+2z^2x^2-4y^2zx+2yz^2x+2yzx^2 = 0 \)\(\displaystyle (2) \)

és

\(\displaystyle 2z^4-x^4-y^4-z^2x^2-z^2y^2+2x^2y^2-4z^2xy+2zx^2y+2zxy^2 = 0. \)\(\displaystyle (3) \)

Vegyük az (1) és (2) különbségét. Ebből \(\displaystyle x-y\) kiemelhető:

\(\displaystyle 3x^4-3y^4-3x^2z^2+3y^2z^2-6x^2yz+6xy^2z = 0, \)

\(\displaystyle 3(x-y)(x^3+x^2y+xy^2+y^3-xz^2-yz^2-2xyz) = 0. \)\(\displaystyle (4) \)

Hasonlóan, a (2) és (3) különbségéből

\(\displaystyle 3(y-z)(y^3+y^2z+yz^2+z^3-yx^2-zx^2-2xyz) = 0. \)\(\displaystyle (5) \)

A ciklikus szimmetria miatt feltehetjük, hogy \(\displaystyle x,y,z\) közül \(\displaystyle y\) az (egyik) középső, azaz \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle z\) az egyik legkisebb és a legnagyobb valamilyen sorrendben.

Vizsgáljuk (4) második tényezőjét. Ha \(\displaystyle x,y,z\) közül \(\displaystyle z\) a legkisebb, azaz \(\displaystyle z\le x\) és \(\displaystyle z\le y\), akkor

\(\displaystyle x^3+x^2y+xy^2+y^3-xz^2-yz^2-2xyz = x(x^2-z^2) + xy(x-z) + xy(y-z) + y^2(y-z) \ge 0, \)

és egyenlőség csak akkor áll, ha \(\displaystyle z=x\) és \(\displaystyle z=y\) is teljesül. Hasonlóan, ha \(\displaystyle z\) a legnagyobb, akkor

\(\displaystyle x^3+x^2y+xy^2+y^3-xz^2-yz^2-2xyz \le 0, \)

és egyenlőség megint csak \(\displaystyle x=y=z\) esetén lehet. Tehát (feltéve, hogy \(\displaystyle x,y,z\) közül \(\displaystyle z\) a legkisebb vagy a legnagyobb) a (4) egyenlet csak úgy teljesülhet, ha \(\displaystyle x=y\).

Ugyanígy, (5) csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle y=z\).

Tehát biztosan \(\displaystyle x=y=z\), vagyis \(\displaystyle a=b=c\), és a háromszög szabályos.


Statisztika:

A B. 4989. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2018. novemberi matematika feladatai