Problem B. 4990. (December 2018)

B. 4990. Let \(\displaystyle n\) denote a natural number greater than one. Let \(\displaystyle d(n)\) denote the number of positive divisors of \(\displaystyle n\), and let the sum of the divisors be \(\displaystyle \sigma(n)\). Show that \(\displaystyle \sigma(n) > d(n)\sqrt n\,\).

Proposed by Zs. Sárosdi, Veresegyház

(3 pont)

Deadline expired on January 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyenek az \(\displaystyle n\) szám (pozitív) osztói nagyságsorrendben \(\displaystyle 1=a_1<a_2<\dots<a_k=n\), ahol \(\displaystyle k=d(n)>1\). Ekkor minden \(\displaystyle 1\leq i\leq k\) esetén \(\displaystyle a_i\) osztópárja éppen \(\displaystyle a_{k+1-i}\), és ezért \(\displaystyle (a_1a_2\dots a_k)^2=(a_1a_k)(a_2a_{k-1})\dots (a_ka_1)=n^k\). Tehát az \(\displaystyle a_1,a_2,\dots,a_k\) pozitív számok mértani közepe \(\displaystyle \sqrt[k]{a_1a_2\dots a_k}=\sqrt{n}\). Mivel a számtani közepük éppen \(\displaystyle \sigma(n)/k\), ezért a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján:

\(\displaystyle \frac{\sigma(n)}{k}\geq \sqrt{n},\)

ahol egyenlőség pontosan akkor teljesülne, ha \(\displaystyle a_1,\dots,a_k\) egyenlők lennének. Mivel \(\displaystyle n>1\), ezért például \(\displaystyle 1=a_1\ne a_k=n\), vagyis nem áll fenn egyenlőség. Így viszont \(\displaystyle k=d(n)\)-nel beszorzás után az igazolandó \(\displaystyle \sigma(n)>d(n)\sqrt{n}\) egyenlőtlenséget kapjuk.

Statistics:

105 students sent a solution.
3 points:	67 students.
2 points:	21 students.
1 point:	15 students.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2018